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´ 75 – Matem´ticas I : Algebra Lineal a

Anexo 1: Demostraciones
Espacios vectoriales
Demostraci´n de: o Propiedades 89 de la p´gina 41 a

Propiedades 89.- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son: (i) 0 u = 0 . (ii) k 0 = 0 . (iii) (−1) u = −u .

(iv) k u = 0 ⇐⇒ k = 0 ´ u = 0 . o (v) El vector cero de un espacio vectorial es unico. ´ (vi) El vector opuesto de cada vectordel espacio vectorial es unico. ´ Demostraci´n: o (i) Como 0u = (0 + 0) u = 0 u + 0 u , si sumamos a cada lado de la igualdad el opuesto de 0 u , tenemos que 0 u + (−0 u ) = 0u + 0 u + (−0 u ) luego 0 = 0 u + 0 = 0u . (ii) Como k 0 = k( 0 + 0) = k 0 + k 0 , si sumamos a cada lado de la igualdad el opuesto de k 0 , tenemos que k 0 + (−k 0) = k 0 + k 0 + (−k 0) luego 0 = k 0 + 0 = k 0 . (v) Si wverifica que w + u = u , entonces w + u + ( −u) = u + ( −u ) de donde w + 0 = 0 y w = 0 . En consecuencia, el vector cero es unico. ´ (vi) Si w verifica que w + u = 0 , entonces w + u +(−u ) = 0 +(−u ) de donde w + 0 = −u y w = −u . En consecuencia, el vector opuesto es unico. ´ (iii) Veamos que (−1) u es el opuesto u : u + (−1) u = 1 u + (−1) u = (1 + (−1))u = 0 u = 0 . (iv) Si k u = 0 y k = 0,entonces
1 kku

=

1 k

1 1 0 = 0 . Luego 0 = k k u = ( k k) u = 1 u = u .

La implicaci´n en el otro sentido es evidente por (i) y (ii). o Demostraci´n de: o Lema 96 de la p´gina 43 a

Lema 96.- Si S es un conjunto linealmente independiente de vectores de V y v ∈ V −lin S , entonces S ∪{ v } es linealmente independiente. Demostraci´n: o Sea S = {u1 , u2 , . . . , ur } es un conjuntolinealmente independiente de vectores V y sea v ∈ V que no pertenece a lin S . Entonces, en la igualdad vectorial λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λr ur + λv = 0 − λ1 λ
λ2 λ λr λ

7.1

u1 − u2 − · · · − ur y v el coeficiente λ debe ser cero, pues si no lo es, podemos despejar v = estar´ generado por los vectores de S , lo que no es cierto. Ahora bien, como λ = 0, la ecuaci´n 7.1 se reduce ıa o a λ1 u1 + λ2 u2+ · · · + λr ur = 0 y en consecuencia, todos los λi son cero por ser los vectores ui linealmente independientes. Demostraci´n de: o Lema 97 de la p´gina 43 a

Prof: Jos´ Antonio Abia Vian e

I.T.I. en Electricidad

´ 76 – Matem´ticas I : Algebra Lineal a

Anexo 1

Lema 97.- Sean V un espacio vectorial y B una base de V formada por n vectores. Entonces cualquier conjunto {v1 , v2 , . . ., vm } de vectores de V , con m > n , es linealmente dependiente. Demostraci´n: o Sea B = {w1 , w2 , . . . , wn } la base de V . Cada vector vk del conjunto {v1 , v2 , . . . , vm } puede expresarse como combinaci´n lineal de los vectores de B , en la forma o vk = ak1 w1 + ak2 w2 + · · · + akn wn , para cada k = 1, . . . , m El conjunto es linealmente dependiente si la ecuaci´n λ1 v1 + λ2 v2 + · ·· + λm vm = 0 tiene m´ltiples o u soluciones. Sustituyendo: 0 = λ1 (a11 w1 + a12 w2 + · · · + a1n wn ) + λ2 (a21 w1 + a22 w2 + · · · + a2n wn ) + · · · + λm (am1 w1 + am2 w2 + · · · + amn wn ) = (λ1 a11 + λ2 a21 + · · · + λm am1 )w1 + (λ1 a12 + λ2 a22 + · · · + λm am2 )w2 + · · · + (λ1 a1n + λ2 a2n + · · · + λm amn )wn Como B es un conjunto linealmente independiente de vectores, se tiene elsistema lineal  λ1 a11 + λ2 a21 + · · · + λm am1 = 0    λ1 a12 + λ2 a22 + · · · + λm am2 = 0 ··· ··· = 0    λ1 a1n + λ2 a2n + · · · + λm amn = 0 que tiene m inc´gnitas (los λk ) y n ecuaciones, con m > n , por lo que no tiene soluci´n unica. o o ´ Demostraci´n de: o Proposici´n 101 de la p´gina 43 o a

Proposici´n 101.- Si V es un espacio vectorial, con dim V = n . Entonces, un conjunto de nvectores de V es o base de V , b) si genera a V . a) si el conjunto es linealmente independiente, o Demostraci´n: o Sea S el conjunto de n vectores. Si S es linealmente independiente, tiene que generar V , pues si no: podr´ a˜adirse vectores linealmente ıan n independientes con lo anteriores hasta formar una base de V (existir´ al menos un vector vn+1 ∈ V − lin S , ıa tal que S ∪ { vn+1 } es...