Topología de la recta real

Cap´ ıtulo 5 Topolog´ de la Recta Real ıa
La Topolog´ estudia lo relacionado con el concepto de continuidad en muy diversos ıa a contextos. En el Cap´ ıtulo anterior fueron establecidas las propiedades b´sicas de las funciones continuas definidas en conjuntos de n´ meros reales, especialmente en intervalos. u En el presente cap´ ıtulo introduciremos algunas nociones de la Topolog´ para elcontexto ıa particular de la recta real, profundizaremos el estudio de las funciones continuas iniciado en el cap´ ıtulo anterior, e introduciremos una clase de espacios en los cuales las nociones topol´gicas y de continuidad adquieren un significado m´s general y abstracto. o a Comenzaremos extendiendo parcialmente el contexto de validez de uno de los resultados m´s importantes sobre sucesiones que fueestudiado en un Cap´ a ıtulo anterior, como es el Teorema de Bolzano-Weierstrass. Primero introduciremos el concepto de conjunto cerrado, el cual es una extensi´n de la noci´n de intervalo cerrado, con referencia directa o o a la propiedad de contener los l´ ımites de sucesiones convergentes, a la cual se refiere el Teorema de Bolzano-Weierstrass.
´ DEFINICION 5.1 Sean D ⊂ R y a ∈ R. Diremos que aes un punto l´ ımite de D si existe un sucesi´n (xn ) de puntos pertenecientes a D tal que xn → a. El conjunto de los o ¯ puntos l´ ımite del conjunto D es denotado opr D y es llamado clausura de D.

¯ Ejemplo 5.1. Para D ⊂ R, se tiene siempre que D ⊂ D. Sin embargo, puede ocurrir que ¯ ¯ D = D. De hecho, si D = (a, b), con a < b, entonces D = [a, b]. Ejemplo 5.2. La clausura de R es R, si notomamos en consideraci´n los s´ o ımbolos ±∞. ¯ En este cap´ ıtulo Pero, en el contexto de la recta real extendida, la clausura de R es R. ¯ como espacio subyacente de las propiedades topol´gica, estudiaremos no trataremos R o solo la topolog´ de la recta real. ıa ¯ Ejemplo 5.3. Si X ⊂ R es finito, entonces X = X. En efecto, si a ∈ X, entonces tomamos / r = m´ ın{|x − a| : x ∈ X} > 0, de modo que elintervalo (a − r, a + r) no contiene puntos de X y ninguna sucesi´n en X puede tener l´ o ımite a. 47

48

CAP´ ITULO 5. TOPOLOG´ DE LA RECTA REAL IA

Ejemplo 5.4. La clausura de Q es R. ¯ Ejemplo 5.5. Si D es acotado, entonces D es acotado. ¯ ¯ ¯ ´ PROPOSICION 5.1 Sean A, B ⊂ R. Si A ⊂ B, entonces A ⊂ B. Adem´s, A = A. a ¯ ¯ ´ DEFINICION 5.2 Un conjunto D ⊂ R es cerrado si D = D. Por otrolado, un conjunto A ⊂ R es abierto si R \ A es cerrado. La siguiente caracterizaci´n es empleada en otros textos como definici´n de cono o junto abierto en el contexto de espacios m´tricos, como veremos m´s adelante en este e a Cap´ ıtulo. TEOREMA 5.1 Un subconjunto A ⊂ R es abierto si y s´lo si para todo x ∈ A existe o ε > 0 tal que (x − ε, x + ε) ⊂ A. Demostraci´n. [Suficiencia]. Sea A un conjuntoabierto. Suponga que existe x0 ∈ A o para el cual no se satisface la condici´n del enunciado, es decir, x0 es tal que (x0 − o ε, x0 + ε) ∩ (R \ A) = ∅ para todo ε > 0. Tomando sucesivamente valores de ε de la forma 1/n con n ∈ N, y de acuerdo con la condici´n anterior, podemos escoger puntos o xn ∈ (x0 − 1/n, x0 + 1/n) ∩ (R \ A). De esta manera obtenemos una sucesi´n (xn ) que o converge a x0 ∈ Ay con xn ∈ R \ A para todo n. Luego, R \ A no es cerrado y por tanto A no es abierto. [Necesidad]. Debemos mostrar que R \ A es igual a su clausura. Por reducci´n al o absurdo, suponga que existe un punto l´ ımite x0 de R\A tal que x0 ∈ R\A. Por definici´n / o de clausura existe una sucesi´n (xn ) de puntos xn ∈ R \ A tal que xn → x0 . Por hip´tesis o o existe ε > 0 tal que (x0 − ε, x0 + ε) ⊂ A.Luego, el intervalo (x0 − ε, x0 + ε) no contiene puntos de (xn ), y esta sucesi´n no puede tener l´ o ımite x0 , lo cual es contradictorio. Cualquier intervalo de la forma (x − ε, x + ε) como en la demostraci´n anterior es o llamado entorno abierto sim´trico o bola abierta de radio ε alrededor de x o centrado en e x. Ejemplo 5.6. Todo intervalo abierto es un conjunto abierto. Todo intevalo...