Topologia

ÍNDICE
Introducción…………………………………………….…………………………..3
Objetivos……………………………………………………………………………...4
1. ESPACIOS NORMADOS
1.1. Definición…………………………………………………………………………5
1.2. Ejemplos………………………………………………………………………….5
1.3. Propocision……………………………………………………………………….6
1.4. Definición………………………………………………………………………….6
1.5. Teorema…………………………………………………………………………...7
1.6.1. Operadores linéales continuos. Normasequivalentes. espacio dual…........7
1.6.2. Teorema…………………………………………………………………………7
1.6.3.Teorema…………………………………………………………………………..8
1.6.4. Corolario……………………………...………..…………………………………8
1.6.5. Teorema………………………………………………………………………….8
2. ESPACIOS METRICOS
2.1. Métricas……………………………………..……………………..……………….9
2.2. Definición…………………………………………………………..………………9
2.3. Ejemplos………………………………………………………………….9, 10 y 11Conclusiones………………………………………………………………………….12
Bibliografía………………………………………………………………………….....13

INTRODUCCION

La geometría del espacio tridimensional en el que estamos sumergidos nos resulta muy natural. Conceptos tales como distancia, longitud, ángulo, perpendicularidad son de uso cotidiano. En matemáticas frecuentemente podemos agrupar ciertos objetos en espacios abstractos y definir entre ellosrelaciones semejantes a, las existentes entre los puntos del espacio ordinario. El paralelismo que se establece así entre los espacios abstractos y el espacio euclediano nos permite visualizar y lograr un entendimiento más profundo de estos objetos.
En algunas aplicaciones el planteo más simple que puede usarse es el de espacio métrico. Un espacio métrico es un conjunto de puntos en los que estádefinido la noción de distancia entre puntos. Podemos usar la función distancia o métrica para, definir los conceptos fundamentales del análisis, tales como convergencia, continuidad y compacidad.
Un espacio métrico no necesita tener ninguna clase de estructura algebraica definida en él, es decir, puede no tener sentido la, suma de elementos del espacio o la, multiplicación de un elemento por unnúmero real o complejo. Sin embargo, es muy frecuente el uso de espacios métricos que son a su vez espacios vectoriales, con una métrica derivada de una norma que mide la longitud de un vector. Tales espacios serán llamados espacios normados.
En los espacios prehilbertianos se puede definir una norma a través del producto escalar por la fórmula x=(x/y)1/2, y que ésta cumpla unas propiedades. Enparticular, tales propiedades sirven para introducir una noción de distancia natural en dicho espacio, y por tanto una topología y una noción de convergencia. Como veremos en algunos ejemplos, en espacios sin producto escalar también puede definirse una norma con las mismas propiedades. Ello conduce a la noción de espacio normado y, en caso de haber completitud, al concepto de espacio de Banach. En estetrabajo se estudiará, la estructura de los espacios normados, la caracterización de las normas que conducen a una misma topología, así como de la continuidad de aplicaciones lineales entre espacios normados y de las normas que provienen de un producto escalar.

OBJETIVOS
I. El objetivo principal es saber de que consta o que conforma, un espacio métrico y un espacio normado.
II. Tenerconocimiento de algunos de los espacios métricos y normados.
III. Tener la capacidad de identificar los espacios métricos y normados, así como demostrarlos.
IV. Comprender las definiciones de norma de los diferentes tipos de espacios
V. Saber las aplicaciones de los espacios métricos y normados a la topología general.


ESPACIOS NORMADOS

Comencemos con ladefinición de norma, que axiomatiza algunas propiedades de la norma cuadrática. En principio, el cuerpo base de nuestros espacios vectoriales será R, aunque la mayoría de los resultados que se expondrán son validos también en espacios vectoriales complejos.
Definición 1.1.
Sea X un espacio vectorial. Decimos que una función ‖.‖ : X -> R es una norma sobre X si...