Torques

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Cap´
ıtulo 7

Torque, centro de masas y
equilibrio
7.1.

Producto vectorial

Para lo que sigue, necesitamos introducir una nueva operaci´n entre dos vectores, llamada
o
producto vectorial o producto cruz.
Definici´n:
o
Sean A y B dos vectores. Entonces definimos el vector C , que es el producto vectorial de
A y B , por:
ˆ
C = A × B ≡ |A| |B | sin γ C ,
(7.1)
ˆ
donde γ es el´ngulo (m´s peque˜o) entre los dos vectores A y B , y C es un vector unitario
a
a
n
perpendicular al plano engendrado por los vectores A y B .
Hay dos vectores unitarios que son perpendiculares al plano engendrado por los vectores A
y B . Por convenci´n debe usarse el que se obtiene usando la regla de la mano derecha.
o
Regla de la mano derecha: Empu˜e la mano y estire el dedo pulgar. Orientelos dedos
n
empu˜ados de manera que apunten a lo largo del ´ngulo γ (desde A hacia B ); entonces el
n
a
ˆ
pulgar indica la direcci´n y sentido del vector C .
o
De la definici´n se desprende que el producto cruz de dos vectores es otro vector. Notemos
o
que la definici´n del vector C es independiente de cualquier sistema de coordenadas. Es
o
inmediato que
x×x=y×y =z×z =0,
ˆˆˆˆˆˆ
x × y =−y × x = z ,
ˆˆ
ˆˆˆ
y × z = −z × y = x
ˆˆ
ˆˆˆ
y
z × x = −x × z = y .
ˆˆ
ˆˆˆ
183

184

Torque, centro de masas y equilibrio

Una caracter´
ıstica importante del producto cruz es que no es conmutativo, sino anticonmutativo; en efecto, de la definici´n se observa inmediatamente que:
o
A × B = −B × A
El producto cruz es distributivo respecto a la suma de vectores:
A × (B + C ) =A × B + A × C

.

y
(A + B ) × C = A × C + B × C .
Evaluemos el producto cruz entre los dos vectores A y B en t´rminos de sus coordenadas.
e
Sean A y B dos vectores
A = (Ax , Ay , Az ) = Ax x + Ay y + Az z
ˆ
ˆ
ˆ
B = (Bx , By , Bz ) = Bx x + By y + Bz z ,
ˆ
ˆ
ˆ
entonces se tiene
A × B = (Ax x + Ay y + Az z ) × (Bx x + By y + Bz z )
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
= Ax Bx x × x + Ax By x × y +Ax Bz x × z + Ay Bx y × x + Ay By y × y +
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
+Ay Bz y × z + Az Bx z × x + Az By z × y + Az Bz z × z
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
= (Ax By − Ay Bx )ˆ + (Ay Bz − Az By )ˆ + (Az Bx − Ax Bz )ˆ
z
x
y
Considere el paralel´gramo engendrado
o
por dos vectores A y B (ver figura 7.1).
El ´rea de tal paralel´gramo viene dado
a
o
por
´
Area = |A × B | .
Figura 7.1
Ilustremos el uso delproducto cruz con dos problemas.
Problema 1: Sean P1 =(2,1,5), P2 =(5,2,8) y P3 =(4,8,2) las coordenadas de los v´rtices
e
de un tri´ngulo. Calcule su ´rea.
a
a
Soluci´n: El vector que une los puntos P1 y P2 es
o
A = 3ˆ + y + 3ˆ ,

z
mientras que el vector que une los puntos P1 y P3 es
B = 2ˆ + 7ˆ − 3ˆ .
x
y
z

7.1 Producto vectorial

185

Ahora observe que el m´dulo delproducto vectorial de los vectores A y B es igual al doble
o
de ´rea del tri´ngulo, por lo tanto
a
a
´
Area del

=
=

1
|A × B |
2
1
| − 24ˆ + 15ˆ + 19ˆ|
x
y
z
2

Problema 2: Sean A y B dos vectores
unitarios en el plano x, y , que forman
a
´ngulos −α y β con el eje x, respectivaˆ
mente (ver figura 7.2). Eval´e el producu
to cruz de estos vectores de dos maneras,
una vez usandola definici´n y la segunda
o
vez usando la expresi´n en t´rminos de las
o
e
coordenadas cartesianas, y de esta manera
encuentre una expresi´n para sin(α + β ).
o

17, 04

Figura 7.2

Soluci´n: El ´ngulo entre los vectores A y B es α + β , luego
o
a
|A × B | = |A| |B | | sin(α + β )| = sin(α + β ) .
Por otra parte
|A × B | = |(cos α x − sin α y ) × (cos β x + sin β y |
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ= |(cos α sin β + sin α cos β ) z | = cos α sin β + sin α cos β .
ˆ
Igualando las dos expresiones anteriores concluimos que
sin(α + β ) = cos α sin β + sin α cos β .
Ejercicios:
1.

ˆ
Encuentre un vector unitario A que sea simult´neamente perpendicular a los vectores
a
ˆ
u = 2ˆ + y − z y v = x − y + z . ¿Cu´ntos vectores unitarios A existen con esta
xˆˆ
ˆˆˆ
a
propiedad?

2....
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