Cap´
ıtulo 7

Torque, centro de masas y
equilibrio
7.1.

Producto vectorial

Para lo que sigue, necesitamos introducir una nueva operaci´n entre dos vectores, llamada
o
producto vectorialo producto cruz.
Definici´n:
o
Sean A y B dos vectores. Entonces definimos el vector C , que es el producto vectorial de
A y B , por:
ˆ
C = A × B ≡ |A| |B | sin γ C ,
(7.1)
ˆ
donde γ es el´ngulo (m´s peque˜o) entre los dos vectores A y B , y C es un vector unitario
a
a
n
perpendicular al plano engendrado por los vectores A y B .
Hay dos vectores unitarios que son perpendiculares alplano engendrado por los vectores A
y B . Por convenci´n debe usarse el que se obtiene usando la regla de la mano derecha.
o
Regla de la mano derecha: Empu˜e la mano y estire el dedo pulgar. Orientelos dedos
n
empu˜ados de manera que apunten a lo largo del ´ngulo γ (desde A hacia B ); entonces el
n
a
ˆ
pulgar indica la direcci´n y sentido del vector C .
o
De la definici´n se desprende queel producto cruz de dos vectores es otro vector. Notemos
o
que la definici´n del vector C es independiente de cualquier sistema de coordenadas. Es
o
inmediato que
x×x=y×y =z×z =0,
ˆˆˆˆˆˆ
x × y =−y × x = z ,
ˆˆ
ˆˆˆ
y × z = −z × y = x
ˆˆ
ˆˆˆ
y
z × x = −x × z = y .
ˆˆ
ˆˆˆ
183

184

Torque, centro de masas y equilibrio

Una caracter´
ıstica importante del producto cruz es queno es conmutativo, sino anticonmutativo; en efecto, de la definici´n se observa inmediatamente que:
o
A × B = −B × A
El producto cruz es distributivo respecto a la suma de vectores:
A × (B + C ) =A × B + A × C

.

y
(A + B ) × C = A × C + B × C .
Evaluemos el producto cruz entre los dos vectores A y B en t´rminos de sus coordenadas.
e
Sean A y B dos vectores
A = (Ax , Ay , Az ) = Ax x+ Ay y + Az z
ˆ
ˆ
ˆ
B = (Bx , By , Bz ) = Bx x + By y + Bz z ,
ˆ
ˆ
ˆ
entonces se tiene
A × B = (Ax x + Ay y + Az z ) × (Bx x + By y + Bz z )
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
= Ax Bx x × x + Ax By x × y... [continua]

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