Trabajo Colaborativo 3 De Cálculo Diferencial

FASE 1

1. Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva:
y=sen(4x)2 cuando x= π2

y'=4cos4x2=2cos⁡(4x)
Evaluando y'π2=2cos4π2=2cos2π=2∙1=2

2. Si fx=x+1x2-3x halle el valorde f’(1)
f'x=12x-12-2x-3-3=12x-23x-3
f'1=121-231-3=12-2-3=-92

3. Si hx=3xx halle el valor de h’’(1)
hx=x13∙x-1=x-23
h'x=-23x-53=-233x5
Evaluando h'1=-23315=-23

Hallar la derivada de lassiguientes funciones:

4. fx=sinxtanx2
fx=sinxsinxcosx2=sinxcosxsinx2=cosx2
f'x=-2cosx.sinx

5. fx=1x+1x
fx=x-12+x-1
f'x=-12x-32-x-2 = -122x3-1x2

FASE 2

6. fx=lnxln3xfx=ln⁡(x)2ln⁡(x)3=3ln⁡(x)2ln⁡(x))=32
f'x=0

7. fx=sinx
f'x=cosx∙12x-1/2=cosx2x

8. fx=1-sinx2
f'x=-cosx2∙2x=-2xcosx2

9. fx=e-senx
f'x=e-senx∙-cosx=-cos⁡(x)esen(x)

Hallar la derivadaImplícita

10. lnx-lny=y-x
1x-1ydydx=dydx-1
-1ydydx-dydx=-1x-1
-1ydydx-dydx∙-1=-1x-1∙-1
1ydydx+dydx=1x+1
dydx1y+1=1x+1
dydx=1x+11y+1=1+xx1+yy=y(x+1)x(y+x)

FASE 3

11. x3-y3=x-y3x2-3y2dydx=1-dydx
-3y2dydx+dydx=1-3x2
dydx-3y2+1=1-3x2
dydx=1-3x21-3y2

12. Hallar la ecuación de forma explícita, de la recta tangente a la curva:

y=x3-3x+3 para x=2
Primero se calcula lapendiente m, que es igual a:
f'y=m
m=3x2-3
Evaluando la pendiente en x=2
m=3(2)2-3 = 9
Hallando el valor de “y” de la función original:
y=(2)3-32+3=8-6+3=5
Ahora planteamos la ecuación de larecta tangente y=mx+b, reemplazando el punto y la pendiente:
5=92+b, entonces b=5-18=-13
Por lo que la ecuación general queda:
y=9x-13

13. De la curva fx=x2-x Hallar:
a. Lascoordenadas del punto critico
b. Los puntos de inflexión si los hay.

a.
f'x=2x-1
2x-1=0
x=12
f12=122-12=-14
Entonces el punto crítico tiene coordenadas (12,-14)
b. no tiene puntos deinflexión ya que la segunda derivada es una constante.
Aplicaciones de las derivadas problemas de optimización.
14. Una fábrica de tanques de almacenamiento de agua desea construir uno de forma...