Trabajo

PROBLEMAS RESUELTOS MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

CAPITULO 4 FISICA TOMO 1

Cuarta, quinta y sexta edición Raymond A. Serway

MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES 4.1 Los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración 4.2 Movimiento bidimensional con aceleración constante 4.3 Movimiento de proyectiles 4.4 Movimiento circular uniforme 4.5 Aceleración tangencial y radial 4.6 Velocidad yaceleración relativa 4.7 Movimiento relativo a altas velocidades

Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia 2010

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0 0H 1H 2H

1

ALCANCE HORIZONTAL Y ALTURA MAXIMA DE UN PROYECTIL

V V t max = 0Y = 0 sen θ g g
VX

= V0X
VX VY

V0 V0Y
Ymax =

(v 0y )22g

=

(V0 )2 sen 2 θ
2g

= V0X
V

TVUELO = 2 tmax VX

ө VX

= V0X

= V0X

Distancia horizontal recorrida

ө V0Y V0

R = VX Tvuelo

Un proyectil disparado desde el origen en t = 0 con una velocidad inicial V0. La altura máxima del proyectil es h y su alcance horizontal es R. En el punto más alto de la trayectoria, la partícula tiene coordenadas (R/2, Ymax). Supóngase que unproyectil se lanza desde el origen en t = 0 con una componente VY positiva, hay dos puntos especiales que es interesante analizar: El máximo que tiene coordenadas (R/2, Ymax) y el punto que tiene coordenadas (R,0). La distancia se conoce como alcance horizontal del proyectil y Ymax es su altura máxima. Se encuentra Ymax y R en función de V0,

R

ө, g.

Se puede determinar Ymax al observarque en la altura máxima VY = 0. En consecuencia, puede usarse la ecuación 4.11 para determinar el tiempo tmax necesario para llegar a la altura máxima.

Ecuación 4.11

VY = V0Y – g tmax 0 = V0 sen ө – g tmax

0

pero : V0Y

= V0

sen ө

V0 V0Y

Despejando el tiempo

g tmax = V0 sen ө g tmax = V0 sen ө
V sen θ t max = 0 g
VX

ө = V0X

2

Al sustituir esta expresión paratMAX en la ecuación 4.13, se obtiene Ymax en función de V0,

ө.

Componente de posición vertical 1 Ymax = (V0Y ) t max - g t 2 max
V sen θ pero: t max = 0 g
2

V0 sen θ 2 t2 ) max = ( g

V0Y = V0 sen ө

Reemplazando
Ymax = (V0Y ) t max 1 2 g t max 2

2 ⎛ V sen θ ⎞ 1 ⎛ V sen θ ⎞ ⎟ ⎟ g ⎜ 0 Ymax = (V0 sen θ ) ⎜ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ g g ⎝ ⎠ 2 ⎝ ⎠ (V0 )2 sen 2 θ ⎛ V sen θ ⎞ 1 ⎟ Ymax = (V0 sen θ ) ⎜ 0g ⎟ 2 ⎜ g ⎠ ⎝ g2 (V0 )2 sen 2 θ ⎛ V sen θ ⎞ ⎟ Ymax = (V0 sen θ ) ⎜ 0 ⎟ ⎜ g 2g ⎠ ⎝
2 2 ⎛ (V )2 sen 2 θ ⎞ ⎟ - (V0 ) sen θ Ymax = ⎜ 0 ⎜ ⎟ g 2g ⎝ ⎠ 2(V0 ) 2 sen 2 θ - (V0 )2 sen 2 θ Ymax = 2g

Ymax =

(V0 )2 sen 2 θ
2g

con esta ecuación se halla la altura máxima que alcanza un cuerpo.

El alcance R, es la distancia horizontal recorrida en el doble de tiempo necesario para alcanzar laaltura máxima, es decir, en el tiempo 2t1. el tiempo que demora el cuerpo en el aire se le llama tiempo de vuelo (tVUELO)
0

Y = (V0Y ) t VUELO 0 = (V0Y ) t1 -

1 2 gt 2 VUELO

pero: Y = 0

1 2 gt 2 VUELO (V0Y ) t VUELO = 1 g t 2 Cancelando tVUELO 2 VUELO (V0Y ) = 1 g t VUELO despejando tVUELO 2 2 V0Y pero: V0Y = V0 sen t VUELO = g t VUELO =

ө

2 V0 sen θ Se le denomina tiempo de vuelodel proyectil g

El alcance R, es la distancia horizontal recorrida R = VX tVUELO

3

Pero: VX = V0X = V0 cos ө R = VX tVUELO R = V0 cos ө tVUELO

t VUELO =

2 V0 sen θ g

⎛ 2 V0 sen θ R = V0 cosθ ⎜ ⎜ g ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2 sen θ cos θ (V0 )2 R= g Pero: 2 sen ө cos ө = sen 2 ө R= sen 2θ (V0 )2 con esta ecuación se halla el alcance máximo horizontal g

Ejemplo 4.5 Donde pone el ojo ponela bala. Pág. 81 del libro serway cuarta edición En una conferencia demostrativa muy popular, un proyectil se dispara contra un blanco de tal manera que el primero sale del rifle al mismo tiempo que el blanco se deja caer en reposo, como muestra la figura 4.9. Se demostrara que si el rifle esta inicialmente dirigido hacia el blanco estacionario, aun así el proyectil hará diana.

Línea de visión...