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Sistema de ecuaciones lineales
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones seríael siguiente:
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programaciónlineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

Donde  son las incógnitas y los números  son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

Si representamos cada matriz conuna única letra obtenemos:

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea elcuerpo del que provengan los coeficientes.
Tipos de sistemas
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. Deacuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
* Sistema incompatible si no tiene solución.
* Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:
* Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
* Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Quedando así la clasificación:

Métodode solución (eliminación y por determinantes) e interpretación geométrica
 
PROCEDIMIENTO
Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de sustitución:
1.             Resuelve una de las ecuaciones para x o y.
2.            Sustituye la expresión resultante de la otra ecuación. (Ahora se tiene una ecuación con una variable).
3.            Resuelve la nueva ecuación para la variable.4.            El valor de esa variable se sustituye en una de las ecuaciones originales y se resuelve esta ecuación para obtener el valor de la segunda variable.
5.            La solución se comprueba sustituyendo los valores numéricos de las variables en ambas ecuaciones
 Ejemplo 1
Resuelve: 
Solución  Utilicemos el procedimiento de los cinco pasos:
1. Resuelve una de las ecuaciones para xo y. Resolveremos aquí la primera ecuación para y). y = 8 - x
2. En la ecuación 2x – 3y = -9; escribe 8 – x en lugar de la y.  2x – 3(8 – x) = -9
3. Resuelve la nueva ecuación para la variable:
                      2x – 3(8 – x)   =  -9
                       2x – 24 +3x   =  -9                   Simplificando
                               5x – 24   = -9                   Combinandotérminos semejantes
                                       5x   =  15                  Suma 24 a ambos lados
                                         x   =  3                    Divide entre 5
4. Sustituye el valor de la variable x=3 en una de las ecuaciones originales. (aquí lo hacemos en la ecuación x + y = 8. Luego resuelve para la segunda variable 3+y=8 Nuestra solución es el par ordenado (3, 5)ya que y = 5.
5. Comprobamos; cuando x= 3 y y=5; x + y = 8 se convierte en 3 + 5 = 8 y 8=8. Lo cual es verdadero.
Luego para la segunda ecuación, 2x – 3y = -9 se convierte en
                              2(3) – 3(5)  =  -9
                                     6 – 15  = -9
                                            -9  = -9
Lo que también es cierto. De este modo nuestra solución (3,5) es...