Transformacion lineal

Definición de transformación lineal
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y ven V y cada escalar ∝,
1. T (u+v)= Tu+Tv
2. T(∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar.
Propiedades
1) Sea V un espacio de dimensión finita y sea v1,...,vm una base de V sobre R. Se define una función T: V R, asignando como imagen a cada vector v = a1v1 +...+ amvm el número a1. Esta es una transformación lineal porque si v = b1v1 +...+ bmvm, entonces:
T(av + bv) = T[(aa1 +bb1)v1 +...+ (aam + bbm)vm] = aa1 + bb1 = aTv + bTv.
2) Usando la misma notación del ejemplo anterior, la función T: V Rm definida por: T(a1v1 +...+ amvm) = (a1,...,am), es lineal.
3) La derivación de polinomios, D: R[X] R[X], es lineal.
4) Sea V el espacio de los vectores de un plano y sea w V un vector de norma 1. La función T: V V que a cada v V le asocia la proyecciónortogonal de v sobre w es lineal, porque la proyección de v es Tv = (v.w)w y T(au + bv) = [(au + bv).w]w = a(u.w)w + b(v.w)w = aTu +bTv.
5) Si V = V1 V2, todo v V se escribe en la forma v = v1 + v2, con v1 V1 y v2 V2 únicos. Se define entonces la proyección de V sobre V1 según V2, como la función T: V V dada por Tv = v1 para todo v V.
Esta función es lineal porque si u = u1 +u2, con u1 V1 y u2 V2, entonces au + bv = au1 + bv1 + au2 + bv2 y T(au + bv) = T(au1 + bv1 + au2 + bv2) = au1 + bv1 = aTu + bTv
También puede ocurrir que:
V = V1 V2 = V1 W, con V2 W. En ese caso la proyección de V sobre V1 según V2, es diferente de la proyección de V sobre V1 según W, porque entonces se tendrá para algunos vectores v de V, v = v1 + v2 = v1 + w, con v1,v1 V1,v2 V2 yw W, donde v2 w y por lo tanto v1 v1. Luego la proyección de v sobre V1 según V2 es v1, mientras que la proyección de v sobre V1 según W es v1 v1.
Si S y T son dos transformaciones lineales de V en W, se obtiene otra transformación lineal de V en W, la suma de S y T, definiendo: (S + T) v = Sv + Tv para todo v V.
Para todo a R y toda transformación lineal T: V W se define(aT)v = a(Tv), para todo v V. Es claro que aT también es una transformación lineal de V en W.
Es simple verificar que con estas operaciones de suma de transformaciones y producto de números por transformaciones el conjunto de todas las transformaciones lineales de V en W es un espacio vectorial.
Dadas dos transformaciones lineales, S: V U y T: U W, tales que el conjunto de llegada de Scoincide con el conjunto de partida de T, está definida la composición de las transformaciones, que está dada por (TS)v = T(Sv) para todo v V. Es fácil demostrar que si S y T son lineales, la composición de S con T también es lineal.
En particular, está definida la composición de cualquier par de transformaciones lineales de un espacio vectorial V en sí mismo. La composición es en este caso unaoperación en el espacio vectorial de todas las transformaciones lineales de V en V. Este es un producto asociativo porque la composición de funciones siempre lo es.
Por ejemplo, si D: R[X] R[X] es la derivación de polinomios, entonces dados a,b,c R, D3 + aD2 + bD + cI es la transformación lineal de R[X] en R[X] que a cada polinomio f le asocia el polinomio f + af + bf + cf.
Si I es latransformación identidad de V en V, S, S1, S2, y T son transformaciones lineales de V en V y a R, se verifican fácilmente las siguientes igualdades:
TI = IT = T, a(TS) = (aT)S = T(aS),
T (S1 + S2) = TS1 + TS2, (S1 + S2)T = S1T + S2T.
Imagen y núcleo de una transformación lineal
Sean V y W espacios vectoriales sobre K (donde K representa el cuerpo) se satisface que:
Si  es lineal, se define...