Transformaciones lineales

Transformaciones Lineales
Departamento de Matem´aticas, CCIR/ITESM
16 de abril de 2009
´I
ndice
21.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
21.2. Idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
21.3. Transformaci´on Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
21.4. Geometr´ıa de las transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
21.5. Linealidad en una condici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
21.6. Hechos que cumple una transormaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
21.7. Conceptosrelativos a funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
21.8. Im´agenes de espacios generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
21.1. Introducci´on
En esta lectura se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los
espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan lasuma y la multiplicaci´on por escalares.
21.2. Idea
En los cursos b´asicos relativos a ecuaciones vimos que la soluci´on a la ecuaci´on
f(x) = 0
podr´ıa entenderse como los puntos donde la gr´afica de la funci´on f(x) corta el eje de las x’s:
1
−1
−2
−1 1 2
esta forma de ver a una ecuaci´on permite entonces resolver ecuaciones de la forma:
f(x) = a
en este caso lo que se busca son losvalores de x de aquellos puntos donde la gr´afica de la funci´on f(x) corta
la l´ınea horizontal y = a:
1
−1
−2
−1 1 2
Esta idea de corte de la gr´afica de f(x) con la recta y = a da pie a m´etodos gr´aficos de soluci´on de ecuaciones
y tambi´en permite obtener conclusiones cualitativas a ciertas ecuaciones. Por ejemplo, se deduce f´acilmente
que 3 sen(20 x) cos(x) = 1 tiene infinitassoluciones, mientras que 3 sen(20 x) cos(x) = 3.5 no tiene soluci´on:
1
2
3
−1
−2
−3
−1 1 2
En el caso anterior, 3 sen(20 x) cos(x) = 1 tiene soluci´on debido a que 1 est´a en el rango de la funci´on; mientras
que 3 sen(20 x) cos(x) = 3.5 no tiene soluci´on porque 3.5 no lo est´a. El rango de la funci´on est´a marcado en el
eje y como un segmento de l´ınea magenta. En general, el siguienteresultado se tiene:
Teorema
La ecuaci´on
f(x) = a
tiene soluci´on si y s´olo si a est´a en el rango de f(x).
Nosotros usaremos el concepto de la funci´on para darle un tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. La
restricci´on que haremos ser´a sobre el tipo de funciones: s´olo estaremos interesados en funciones que preserven
las operaciones en el espacio vectorial. Este tipo defunciones ser´an llamadas funciones lineales. Primeramente
las definiremos, veremos algunas propiedades generales y despu´es veremos c´omo se aplican estos resultados a
sistemas de ecuaciones.
21.3. Transformaci´on Lineal
Definici´on 21.1
Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformaci´on lineal o mapeo lineal
de V a W es una funci´on T : V → W tal que para todos losvectores u y v de V y cualquier
escalar c:
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(c u) = c T(u)
2
Ejemplo 21.1
Demuestre que la tranformaci´on T : R2→R2 definida por
T  x
y  =  x + 3 y
x + 2 y 
es lineal.
Soluci´on
Sean u =  x1
y1  y v =  x2
y2 .
Entonces
T(u + v) = T  x1
y1  +  x2
y2  = T  x1 + x2
y1 + y2 
=  (x1 + x2) + 3 (y1 + y2)
(x1 + x2) + 2 (y1 + y2) 
=  x1 + 3 y1x1 + 2 y1  +  x2 + 3 y2
x2 + 2 y2 
= T  x1
y1  + T  x2
y2  = T(u) + T(v)
Por otro lado, para todo escalar c,
T(c u) = T  c x1
c y1 
=  c x1 + 3 c y1
c x1 + 2 c y1 
= c  x1 + 3 y1
x1 + 2y1 
= c T  x1
y1 
= c T(u)
Como se cumplen las dos condiciones:
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(c u) = c T(u)
T es lineal 
Ejemplo 21.2
Demuestre que la transformaci´on T : R3→R2 es...