Transformaciones-lineales

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´ INDICE

13.TRANSFORMACIONES LINEALES ´ ´ 13.1. DEFINICION DE TRANSFORMACION LINEAL . . . . . . . . . . . . . ´ DE UNA TRANSFORMACION LINEAL . . . . . . ´ 13.2. DETERMINACION ´ ´ 13.3. REPRESENTACION MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACION LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ ´ 13.4. NUCLEO Y RECORRIDO DE UNA TRANSFORMACION LINEAL . . ´ LINEAL . . . .. . 13.5. ESPACIO IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION ´ 13.6. TEOREMA DE LA DIMENSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.7. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.8. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

257 . 257 . 259 . . . . . . 260 261 264 265 268 271

CAP´ ITULO 13 TRANSFORMACIONES LINEALES

13.1.

´ ´DEFINICION DE TRANSFORMACION LINEAL

Definici´n 13.1.1. Sean (V, +, ◦, K), (W, ⊕, ∗, K) dos espacios vectoriales sobre el cuerpo o K. Una aplicaci´n o funci´n T : V → W es una transformaci´n lineal si o o o a) T (v1 + v2 ) = T (v1 ) ⊕ T (v2 ); ∀ v1 , v2 ∈ V . b) T (k ◦ v) = k ∗ T (v); ∀ v ∈ V, ∀ k ∈ K. Observaci´n 13.1.1. Sea T : V → W una transformaci´n lineal, entonces: o o a) Para simplificar lanotaci´n denotaremos las operaciones en los espacios con el mismo o s´ ımbolo diciendo: T : V → W es una transformaci´n lineal si o a) T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ); ∀ v1 , v2 ∈ V . b) T (kv) = kT (v); ∀ v ∈ V, ∀ k ∈ K. b) T es lineal si preserva las operaciones del espacio vectorial. c) El cero del espacio V se transforma en el cero del espacio W , es decir, T (0V ) = 0W ya que, usando b) de laDefinici´n 13.1.1, con k = 0 se consigue T (0V ) = T (0 · v) = o 0 · T (v) = 0W . Usando la contrapositiva concluimos: si T (0v ) = 0W entonces T : V → W no es una transformaci´n lineal. o d) T
n i=1

ki vi

=

n i=1

ki T (vi ); vi ∈ V, ki ∈ K.

257

258

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA

Ejemplo 13.1.1. Verifique que la transformaci´n T : R2 → R3 tal que T (x,y) = (x + o y, y, x − y), es una transformaci´n lineal. o Soluci´n. o a) Sean v1 = (x, y), v2 = (p, q) ∈ R2 , entonces T (v1 + v2 ) = T (x + p, y + q) = ((x + p) + (y + q), y + q, (x + p) − (y + q)) = ((x + y) + (p + q), y + q, (x − y) + (p − q)) = (x + y, y, x − y) + (p + q, q, p − q) = T (x, y) + T (p, q) = T (v1 ) + T (v2 ) b) Sean v = (x, y) ∈ R2 , k ∈ R, entonces: T (kv) = T (kx, ky) = (kx +ky, ky, kx − ky) = k(x + y, y, x − y) = kT (x, y) = k(T v) as´ T es una transformaci´n lineal. ı, o o Ejemplo 13.1.2. Verifique si la transformaci´n T : R2 → R3 tal que T (x, y) = (x + y, x − y + 2, y), es una transformaci´n lineal. o Soluci´n. Claramente T no es transformaci´n lineal ya que T (0, 0) = (0, 2, 0) = (0, 0, 0). o o Ejemplo 13.1.3. Compruebe que la transformaci´n T : M (n, R) → M (n,R) tal que o T (A) = M A + AM donde M es una matriz fija en M (n, R), es una transformaci´n lineal. o Soluci´n. o a) Sean A, B ∈ M (n, R) entonces T (A + B) = M (A + B) + (A + B)M = (M A + M B) + (AM + BM ) = (M A + AM ) + (M B + BM ) = T (A) + T (B) b) Sea A ∈ M (n, R), k ∈ R entonces T (KA) = M (kA) + (kA)M = kM A + kAM = k(M A + AM ) = kT (A) Por a) y b), T es una transformaci´n lineal. o CAP´ ITULO 13 TRANSFORMACIONES LINEALES

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13.2.

´ ´ DETERMINACION DE UNA TRANSFORMACION LINEAL

Para describir una transformaci´n o funci´n arbitraria se debe especificar su valor o o en cada elemento de su dominio, sin embargo, para una transformaci´n lineal basta con o conocer los valores sobre una base del espacio dominio. Teorema 13.2.1. Sea {v1 , v2 , . . . , vn } una base delespacio vectorial VK y WK otro espacio vectorial tal que {w1 , w2 , . . . , wn } ⊆ W entonces, existe una unica transformaci´n lineal ´ o T : V → W donde T (v1 ) = wi , i = 1, 2, . . . , n. o Demostraci´n. Encontremos una transformaci´n lineal con las propiedades. o Si v ∈ V entonces v = a1 v1 + a2 v2 + · · · + an vn , con ai las componentes de v en la base {v1 , v2 , . . . , vn }. Definamos entonces...
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