Transformaciones lineales

TRABAJO DE TRANSFORACIONES LINEALES

PRESENTADO A:
PROF. LEONARDO CARVAJAL .

PRESENTADO POR:
AXEL ADRIAN ARCIA GONZALEZ

UNIVERSIDAD DE CÒRDOBA
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERÌAS
INGENIERÌA INDUSTRIAL
2012

TRANSFORMACIONES LINEALES

En matemática una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entredos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar.
En álgebra abstracta una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado.
Una transformación lineal es una función que preserva la estructura algebraica deespacio vectorial, por lo que no toda función entre espacios vectoriales es una transformación lineal. De hecho, es sencillo encontrar funciones inyectivas, sobre, y biyectivas que no son transformaciones lineales.

DEFINICIÒN
Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguientedefinición:
Sean  y  espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo , y  una función de  en .  es una transformación lineal si para todo par de vectores  y  pertenecientes a  y para todo escalar  perteneciente a , se satisface que:
1.
2.  donde k es un escalar.

DEMOSNTRACIÒN

Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un campo F, definimos
L(V, W) = {T : V ® W | T es unatransformación lineal}.
Si T, U Î L(V, W) y a Î F, definimos aT + U : V ® W como (aT + U)(x) = aT(x) + U(x) para toda x Î F. Es un ejercicio verificar que aT + U es una transformación lineal y que L(V, W), junto con estas operaciones de suma y de multiplicación por escalares, es un espacio vectorial sobre F.

TEOREMAS
TEOREMA 2.1 Si T : V W es una transformación lineal, entonces V esdimensionalmente finito si y sólo si N(T) y R(T) son dimensionalmente finitos, y en este caso,
dim(V) = nulidad(T) + rango(T).
Demostración
Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un campo F, definimos
L(V, W) = {T : V W | T es una transformación lineal}.
Si T, U Î L(V, W) y a Î F, definimos aT + U : V ® W como (aT + U)(x) = aT(x) + U(x) para toda x Î F. Es un ejercicio verificar que aT + Ues una transformación lineal y que L(V, W), junto con estas operaciones de suma y de multiplicación por escalares, es un espacio vectorial sobre F.
Definimos el que una función fuera inyectiva, sobre y biyectiva. Es un ejercicio demostrar que para una transformación lineal T : V W, las siguientes condiciones son equivalentes:
* T es inyectiva
* N(T) = {0} (es decir, nulidad(T) =0)
* Para todo S ê V, S es linealmente independiente si y sólo si T(S) ê W es linealmente independiente
También se deja como ejercicio el verificar que si V y W son dos espacios vectoriales con la misma dimensión (finita) y T : V W es una transformación lineal, entonces T es inyectiva o sobre si y sólo si es biyectiva.
Una transformación lineal es una función que preserva laestructura algebraica de espacio vectorial, por lo que no toda función entre espacios vectoriales es una transformación lineal. De hecho, es sencillo encontrar funciones inyectivas, sobre, y biyectivas que no son transformaciones lineales. Esto motiva las definiciones de monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo.
TEOREMA 2.2 Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F. Supongamos que V esdimensionalmente finito y que b = {x1, ..., xn} es una base de V. Entonces para todo {y1, ..., yn} í W, existe una unica transformación lineal T : V W tal que T(xi) = yi para toda i = 1, ..., n.

TEOREMA 2.3 En la categoría de los espacios vectoriales dimensionalmente finitos, la dimensión es un invariante completo de isomorfismo. Es decir, para cualesquiera dos espacios vectoriales...