Transformaciones lineales

III. Transformaciones Lineales

Álgebra Lineal

2012

Objetivo

Se aplicará el concepto de transformación lineal y sus propiedades a la resolución de problemas
que estos conceptos.

Definición de transformación
Una función, aplicación o transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un
elemento de un espacio vectorial V, para convertirlo en un elemento de otroespacio vectorial W.
Ejemplo 4.1. Sean los espacios vectoriales

������ = {������������ 2 + ������������ + ������|������, ������, ������ ∈ ℝ}

y

������ = {(������, ������, ������)|������, ������, ������ ∈ ℝ}

Y la transformación ������: ������ → ������ definida por ������(������������ 2 + ������������ + ������) = (������ + 1, ������ + ������, 0).

Se observa fácilmente que cualquierelemento de V se convierte en un elemento de W, tras
aplicársele la transformación T. Por ejemplo, si ������̅ = −2������ 2 + ������ − 2, al aplicarle la transformación
T, se obtiene:
������(−2������ 2 + ������ − 2) = (−2 + 1, 1 − 2, 0)
= (−1, −1, 0)

Por lo que el polinomio de V se convirtió en una terna ordenada perteneciente a W.
Ejemplo 4.2. Sea M2 el espacio vectorial de las matricescuadradas de orden dos con elementos
reales, y una transformación ������: ������2 → ������2 que se define como
������
������ �
������

������
������
�=�
������
−������ − ������

������ + ������
�
������

En este caso, la transformación se aplica del mismo espacio al mismo espacio. Por ejemplo, para el
1 −1
vector ������̅ = �
� se tiene que la transformación obtenida es
01
1
1 −1������ �
�=�
−(−1) − 0
01
1 −1
=�
�
11

−1 + 0
�
1

Dominio, codominio, núcleo y recorrido de una transformación.
Al igual que las funciones tradiciones, las transformaciones tienen tres partes esenciales para
existir: el dominio, el codominio, y la regla de asignación, como se observa en la figura 4.1.

39

Elaboró: Ing. Aldo Jiménez Arteaga

������: ������ → ������

V

.Álgebra Lineal

W

.

�
�
������(������) = ������

�
������

2012

������(������)

Figura 4.1. Diagrama de Venn de una transformación. V es el dominio, W el codominio, T
la regla de asignación y ������(������) es el recorrido.

El dominio es el espacio vectorial V al cual se le aplicará la transformación; el codominio es el
espacio W al cual pertenece el resultado de aplicar latransformación; la regla de asignación T es la
forma en la cual se debe manipular un elemento de V para convertirlo en un elemento de W;
finalmente, ������(������ ) es el recorrido de la transformación, y es el subconjunto de W obtenido a partir
de la aplicación de la transformación a cada elemento de V.
Ejemplo 4.3. Sea la transformación ������: ℝ4 → ������1 , definida por la regla deasignación
������(������ , ������, ������, ������) = (������ + ������)������ + (������ − ������)

Donde ℝ4 es el espacio vectorial de los cuartetos ordenados con elementos reales, y P1 es el
espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a uno.

En este caso, el dominio de S será el espacio ℝ4; en tanto que el codominio es P1. Para obtener el
recorrido de la transformación se requiereobtener uno de sus conjuntos generadores. Esto se
logra a partir de la transformación de una base del dominio; es decir, si se aplica la transformación
a la base de ℝ4
������ = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}

Se obtendrá un conjunto generador:

������(1, 0, 0, 0) = ������
������(0, 1, 0, 0) = 1
������(0, 0, 1, 0) = −1
������(0, 0, 0, 1) = ������

Entonces, elconjunto generador del recorrido es

������ = {������, 1, −1, ������ }

Como se observa, el conjunto G también es generador de P1. En este caso, el recorrido y el
codominio son el mismo.

40

Elaboró: Ing. Aldo Jiménez Arteaga

Álgebra Lineal

Ejemplo 4.4. Para la transformación ������: ℂ → ������2 definida por
������
������(������ + ������������ ) = �−������

2012...