Transformada de fourier

Nota: Las siguientes líneas son un resumen de las cuestiones que se han tratado en clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido en la bibliografía recomendada en la Programación de la asignatura.

Tema 12. Transformada de Fourier
12.1. Introducción
Hasta ahora, hemos visto que, bajo ciertas condiciones, es posible representar una función periódica medianteuna serie trigonométrica (serie de Fourier). También que es posible aproximar una función por una serie trigonométrica, si esta función está definida en un intervalo [a, b] acotado, bastando para ello prolongar la función, repitiéndola en cada intervalo de longitud b-a. Lo que nos planteamos ahora es cómo representar una función cuando está definida en todo R y no es periódica. De manera intuitivapodemos idear un procedimiento para obtener su serie de Fourier de la siguiente forma: Interpretamos el trozo de función definida en el intervalo [-T, T] y desarrollamos esta nueva función suponiendola periódica y de periodo 2T después haremos T tender a infinito y ver que resultado obtenemos; dicho de otra formar, estamos asumiendo que nuestra función es periódica de periodo infinito. Haciendoesto se obtiene, bajo ciertas condiciones, que: f(x)' O de otra forma:
4 1 4 [f (t) cos[ω(t&x)]dω]dt m0 π m&4 Para ser mas precisos estos resultados vienen determinados por el Teorema de la integral de Fourier. 4 1 4 [f (t) e & i ω (t & x)dω]dt m&4 2π m&4

f(x)'

12.2. Teorema de la integral de Fourier
Teorema 12.2.1 de la Integral de Fourier Sea f(x) una función absolutamente integrable en Ry tal que para el punto x se verifica que existen los valores de f(x+), f(x-), y que las integrales δ f (x % t) & f(x%) δ f (x & t) & f(x&) dt ; dt son absolutamente convergentes para un cierto δ > 0 , entonces: m0 m0 t t f (x%) % f (x&) 1 4 4 ' [ f (u) cos [ω (u & x)]du]dω 2 π m0 m& 4

Igual que sucedía con las series de Fourier, el Teorema de la integral de Fourier admite una formaexponencial que expresamos a continuación.

Teorema 12.2.2 de la Integral de Fourier en forma exponencial Bajo las mismas hipótesis del toerema 13.2.1 si, además, existe f (x%) % f (x&) 1 4 4 ' ( f (u)e i ω (u & x) du) dω 2 2 π m& 4 m& 4 m&4
4

*f(x%t)&f(x&t)* dt , se tiene que: t

Las hipótesis de este Teorema, al igual que nos sucedía con las Series de Fourier, son poco manejables por lo que,normalmente, el Teorema de la integral de Fourier se enuncia con unas hipótesis más restrictivas pero que son más operativas. Así enunciamos, de forma resumida, el Teorema de la Integral de Fourier de la manera siguiente Proposición 12.2.3 Sea f(x) una función definida en todo R verificando que 4 a) existe *f(x)*dx m&4 b) f(x) es continua salvo en un conjunto discreto de puntos {x1, x2, ..., xn,...}.En estos puntos, xi existen, y son finitos, los límites laterales f(xi+) y f(xi-). c) f(x) es derivable por la izquierda y por la derecha Entonces es f (x%) % f (x&) 1 4 4 1 4 4 ' [ f (u) cos [ω (u & x)]du]dω ' [ f (u)e i ω (u & x)du]dω m&4 m0 2 π 2 π m& 4 m& 4

K(t,s)f(t)dt existe para una función dada, m&4 f(t), obtenemos una nueva función, F(s), a la que denominaremos Transformada integral dela función f(t) respecto al núcleo K(t, s). Según la elección que hagamos de K(t, s) tenemos distintos tipos de Transformadas integrales. Una que tiene bastante utilidad, por ejemplo en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, es la Transformada de Laplace que se corresponde cuando elegimos como núcleo K(t, s) = e-t s y trabajamos con funciones, f(t), tales que tanto ellacomo el núcleo son nulos cuando t < 0. Aquí la que nos ocupa es la denominada Trasformada de Fourier. La transformada de Fourier es una transformada integral con núcleo, K(t, s) = e- i t s, donde "i" es la unidad imaginaria. Así, dada f(t) se denomina transformada de Fourier de f(t) a la función, F(ω), definida por: 4 &itω e f (t)dt ; con & 4 < ω < 4 ö [ f (t) ] ' F (ω) ' m& 4 si tal integral...