transformada de fourier

Transformada de Fourier (Definición)

Sea f una función Lebesgue integrable:


La transformada de Fourier de f es la función

Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier F(f) es una función acotada. Además por medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse que F(f) es continua.
Latransformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:

Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en elexponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la Varianza para cada función.
Es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo quefinalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias contenidas en todos los tiempos en que existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para toda la función.
La transformada de Fourier (aplicación)
La transformada de Fouriertiene muchas aplicaciones en la ingeniería, especialmente para la caracterización frecuencial de señales y sistemas lineales. Es decir, la transformada de Fourier se utiliza para conocer las características frecuenciales de las señales y el comportamiento de los sistemas lineales ante estas señales.
Si f(t) es una función real continua, la expresión F(w) =∫ -∞+∞f(t)e-jwtdt
es una funcióncompleja de variable real que se denomina latransformada de Fourier de f(t).
Observad que F(w) es una función con variable real w ∈ ℝ pero que toma valores complejos (F : ℝ → ℂ).
La interpretación en la teoría de la señal es que w es una frecuencia angular y F(w) es el número complejo que daría el módulo (parte real) y la fase (parte imaginaria) del contenido frecuencial de f(t) en la frecuencia w.
Lapropiedad importante es que cuando la transformada de Fourier existe se cumple que
f(t) = 1 2π∫ -∞+∞F(w)ejwtdw
y se denomina la transformada inversa de Fourier.
(La posición del factor 1 2π es arbitraria, también se podría haber puesto 1 2π en cada una de las integrales, la transformada y la transformada inversa).
Es decir, la función f(t) inicial se obtiene a partir de su transformada deFourier con una operación inversa (notad que ahora es la exponencial ejwt, que es la inversa de e-jwt, la que aparecía en el cálculo de F(w))
Otra información

La idea principal de la transformada de Fourier es transformar una señal del dominio del tiempo o en el espacio al dominio de la frecuencia, también podemos invertir este proceso aplicando la llamada transformada inversa de Fourier la cualnos dejará otra vez en el dominio del tiempo.
En sus inicios las series de Fourier surgieron como un método para la explicación de fenómenos de la física, en una época en donde no había conocimiento de la electrónica ni las telecomunicaciones, pero son muy útiles igualmente en nuestros tiempos aplicados en las ciencias de la computación y comunicación.
Esto es posible ya que los fenómenoseléctricos son igualmente fenómenos físicos y sus comportamientos explicados a través de funciones periódicas o movimientos periódicos ondulatorios, en donde una transformada de Fourier permite obtener ondas discontinuas.
Antiguamente el proceso para hallar la transformada de Fourier era un poco dispendioso, debido a los cálculos que se debían hacer manualmente, actualmente con la ayuda de la...