Transformada De Fourier

Señales y Sistemas I 2016506-2
Transformada de Fourier para Señales Continuas
Jan Bacca Rodríguez jbaccar@unal.edu.co Of: 411-203

Señal Cuadrada Periódica
1 t ≤ T1  x(t ) =  T 0 T1 ≤ t < 2 

Periódica con período T

Señal Cuadrada Periódica
Los coeficientes de la Serie de Fourier de esta señal son: 2sen (kω0T1 ) ak = ,k ≠ 0 k ω 0T Reorganizando:
Tak = 2sen (ωT1 )

ω

ω = kω0

Los Tak se pueden considerar muestras igualmente espaciadas de la función 2sen (ωT1 ) ω

Señal Cuadrada Periódica
T = 4T1

T = 8T1

T = 16T1

Señal Cuadrada Periódica
T = 4T1

T = 8T1

T = 16T1

Conclusiones
• Si, en una señal periódica, hacemos crecer el período, la señal se parecerá cada vez más a una señal de duración finita. • En frecuencia, los coeficientes de suSerie de Fourier se acercarán cada vez más, aproximando una señal continua. • Si queremos calcular la Transformada de Fourier de una señal de duración finita la podemos convertir en periódica, calcular la serie y hacer el período tender a infinito.

Transformada de Fourier
• Sea x(t) una señal de duración finita y ~(t ) la x señal obtenida haciendo x(t) periódica con período T. T
~(t ) = x
k =−∞

∑a e
k

∞

jkω0t

1 ak = T

~(t )e − jkω0t dt ∫x
− T 2

2

• Integrar ~(t ) sobre un período equivale a integrar x x(t) sobre todo el eje.
1 ak = T
∞

−∞

x(t )e − jkω0t dt ∫

Transformada de Fourier
Tak = ∫ x(t )e − jkω0t dt
−∞ ∞

• Cuya envolvente será:
X ( jω ) = ∫ x (t )e − jωt dt
1 • De donde: ak = X ( jkω0 ) T
−∞ ∞

• Reemplazando en la Ec. de Síntesis~(t ) = x 1 X ( jkω0 )e jkω0t ∑T k = −∞
∞

Transformada de Fourier
2π = ω0 , reemplazando: • Por otro lado: T 1 ∞ jkω0t ~(t ) = x ∑ X ( jkω0 )e ω0 2π k = −∞

• Si ahora hacemos T→∞:

~(t ) → x (t ) ▫x ▫ ω0 → dω ▫ kω0 → ω ▫ La suma tiende a una integral

1 x(t ) = 2π

∞

−∞

X ( jω )e jωt dω ∫

Convergencia de la Transformada de Fourier
•Las ecuaciones:
X ( jω ) = ∫ x (t )e −jωt dt
−∞ ∞

1 x(t ) = 2π

∞

−∞

X ( jω )e jωt dω ∫

Se dedujeron a partir de señales de duración finita, pero son validas para cualquier señal x(t). • Si se supone que X(jω) existe, la pregunta es si
~(t ) = 1 x 2π
∞ −∞

X ( jω )e jωt dω ∫

es una buena representación de x(t).

Condiciones de Dirichlet
1. x(t) debe ser absolutamente integrable 2. x(t) debe tener un númerofinito de máximos y mínimos en cualquier intervalo finito. 3. x(t) debe tener un número finito de discontinuidades en cualquier intervalo finito y estas discontinuidades deben ser finitas • Garantizan que la ecuación de análisis converge y que la ecuación de síntesis converge a una señal ~(t ) tal que el error e(t ) = ~(t ) − x(t ) x x tiene energía cero.

Ejemplo
• x(t) = e-atu(t), a>0
X ( jω ) =∫ x (t )e
−∞ ∞ − jωt

dt = ∫ e
0

∞

− at

e

− jωt

1 e −(a + jω )t dt = − a + jω

∞

0

1 = a + jω

• La transformada es compleja por lo que se debe graficar en dos partes
X ( jω ) = 1 a2 + ω 2 ω  ∠ X ( jω ) = − tan   a
−1

Ejemplo

Ejemplo
• x(t) = e-a|t|, a>0
X ( jω ) = ∫ x (t )e − jωt dt
−∞
0

∞

= ∫ e at e − jωt dt + ∫ e −at e − jωt dt
−∞ 0

∞1 1 = + a − jω a + jω
2a = 2 a + ω2

Ejemplo
x(t)

X(jω)

Ejemplo
• Hallar la transformada de Fourier de δ(t). • Aplicando la definición:
∆( jω ) = ∫ δ (t )e − jωt dt = e − jωt
−∞ ∞ t =0

=1

F

Ejemplo

 1, ω ≤ W X ( jω ) =  0, ω > W

• Hallar x(t) • Por la Ec. de Síntesis:
1 x(t ) = 2π
∞

−∞

∫ X ( jω )e
jω t W −W

jωt

1 dω = 2π

W

−W

e jωt dω ∫1 e = 2π jt

1 = e jWt − e − jWt 2πjt

(

)

W sen(Wt ) = = senc(Wt ) πt π

Ejemplo
X(jω)

x(t)

Ejemplo
• Hallar la transformada de Fourier de x(t) = 1 • La señal no es absolutamente integrable • No se puede aplicar la definición para calcular la transformada. • Una señal constante en tiempo es el límite cuando T→∞ de un pulso de duración T. • La transformada de esta...