Transformada de la place


INTRODUCCION
La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar lassoluciones de los problemas originales.
Es un procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés Pierre Simón Marques de Laplace (1749 – 1827) que permite cambiar funciones de la variable del tiempo t a una función de la variable compleja s.
Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:
Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuacionesdiferenciales lineales.
Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.
Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.
Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolverel sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ()
El Método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Con el uso de la transformada de Laplace muchas funciones sinusoidales y exponenciales, se pueden convertir en funciones algebraicas de una variable compleja s, y reemplazaroperaciones como la diferenciación y la integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo.

Definimos:
f(t) = una función de tiempo t tal que f(t) = 0 para t > 0. Sea f(t) definida en ( 0,¥). Se define la transformada de Laplace de f(t), como la función [f(t)] = F(s), definida por la integral.
s = una variable compleja. El parámetro s se considerará real. Es estosuficiente para las aplicaciones con ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables. En otros casos es necesario trabajar en el campo complejo, considerando a s como complejo.
L = un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse por la integral de Laplace
F(s) =transformada de Laplace de f(t)

La transformada de Laplace de una función f(t) existe si la integral de Laplace converge. La integral ha de converger si f(t) es seccionalmente continua en todo intervalo finito dentro del rango t > 0 y si es de orden exponencial cuando t tiende a infinito.
Se dice que una función es seccionalmente continua o continua a trazos en un intervalo de “infinito” N| e –yt F(t) | < M o | F(t) | < M e yt
se dice que F(t) es una función de orden exponencial y cuanto t  “infinito”, o simplemente, que es una función de orden exponencial.

Ejemplo 1. F(t) = t2 es de orden exponencial 3 (por ejemplo) ya que | t2 | = t2 < e3t para todo t > 0.
Ejemplo 2. F(t) = et2 (al cuadrado) no es de ordenexponencial puesto que [e -yt et3 (al cubo) ] = et2 – yt puede hacerse más grande que cualquier constante al hacer crecer t.

Si F(t) seccionalmente continua en cada intervalo finito 0 y.

Algunas Propiedades de la Transformada de Laplace:

1. Suma y Resta
Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente. Entonces:
L { f1(t) + f2(t) } = F1(s)+ F2(s)

2. Multiplicación por una constante
Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces:
L { kf(t)} = kF(s)
3. Diferenciación
Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es el límite de f(t) cuando t tiende a cero. La Transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es:
L { df(t)/dt} = sF(s) - lím f(t) = sF(s) - f(0)

En general,...