Transformada de laplace

Transformada de Laplace
1. Definición.-
Sea F:[0,∞> →R , una función definida para t≥0, entonces a la función definida por:
f(s)=0+∞e-stF(t)dt=limb→+∞0+∞e-stF(t)dt |

Se llama transformada de Lapalace de F, siempre que el límite exista.
Simbólicamente a la transformada de Laplace de F se denota por: L{Ft} es decir:

L{Ft} =0+∞e-stF(t)dt= f(s) |

2. Condiciones Suficientespara la Existencia de L{Ft}
La integral impropia que define la Transformada de Laplace no necesariamente converge, por ejemplo; ni L{1t} ni L{et2} existen.
Las condiciones suficiente que garantizan la existencia de L{Ft} son que Ft sea continua por tramos o seccionalmente continua para t≥0 y además que sea de orden exponencial para t>T.
3. Funciones Continuas por Tramos oSeccionalmente Continuas
La función F:a,b→R, es continua por tramos o seccionalmente continua en a,b si:
i. Existen puntos en a,b tal que: a=t0≤t1≤t2≤…≤tn=b donde F es continua en cada sub-intervalo ti≤t≤ti+1 para i=0,1,2,3…,n, salvo en dichos puntos.

ii. En cada punto ti∈a,b existen los limites Fti+= limh→0+Fti+h, Fti-= limh→0-Fti-h

4. Funciones de Orden Exponencial
La función F:[0,+∞>→R,es de orden exponencial si existen constantes c >0 y α tal que F(t)≤ceαt, ∀ t≥0 .
Ejemplo.- Toda función constante es de orden exponencial. En efecto:
Sea F una función constante ⇒∃ c>0 tal que F(t)≤c , ∀ t≥0 entonces
F(t)≤ce0t.
Es decir que F es de orden exponencial haciendo α=0 .
* Propiedades

1. Si F:[0,+∞> →R es una función seccionalmente continua en [0,+∞>,entonces:

I. La función F es de orden exponencial siempre que existe α∈R tal que limt→∞F(t)eαt=0.

II. La función F no es de orden exponencial si: limt→∞F(t)eαt=0

5. Teorema 1
Si la función F:[0,+∞> →R, es seccionalmente continua y de orden exponencial α entonces ∃ f(s)=LFt, ∀ s>α.
6. Teorema 2
Sea F(t) una función continua por partes para t≥0 y de orden exponencial parat>T entonces lims→∞L{Ft} =0.

7. Tabla de Transformada de Laplace de algunas Funciones Elementales.
F(t) | LFt=f(s) |
k | ks, s>0 |
tn | n!sn+1, s>0 |
eat | 1s-a, s>a |
sen at | as²+a², s>0 |
cos at | ss²+a², s>0 |
senhat | as²-a², s>a |
coshat | ss²-a², s>a |
ebtsenat | a(s-b)²+a² |
ebtcosat | s-b(s-b)²+a² |
ebtsenhat | as-b2-a² |
ebtcoshat |s-bs-b2-a² |

8. Propiedades de la Transformada de Laplace

a. Propiedad de Linealidad
Sean F,G:[0,∞> →R, funciones continuas por tramos de orden exponencial entonces:
LαFt+βGt=αLFt+βL{Gt} |

b. Primera Propiedad de Translación
Si F:[0,∞> →R, es una función continua por tramos y de orden exponencial y si LFt=f(s) entonces para a≠0 se tiene.

LeatF(t)=f(s-a), s>a |c. Segunda Propiedad de Translación
Si F:[0,∞> →R, es una función continua por tramos y de orden exponencial y;
Si LFt=f(s) y G(t)=0, t<aF(t-a);t>a entonces LGt=e-asf(s)
d. Propiedad del Cambio de Escala
Sea F:[0,∞> →R, una función continua por tramos y de orden exponencial.
Si LFt=f(s)⇒LFat= 1afsa.
e. Transformada de Laplace de la Multiplicación por Potencia de tn.Consideremos la función f:[0,+∞> →R, continua por tramos y de orden exponencial, si LFt=f(s), entonces
LtnFt= -1ndndsn LFt, para s>0. ∀ n ∈Z+

f. Transformada de Laplace de la División por “t”
Consideremos una función F:[0,∞> →R continua por tramos y de orden exponencial se LFt=f(s) entonces
LFtt=s+∞f(u)du
g. Transformada de Laplace de la Derivada
Los siguientes teoremasque se van a estudiar a la transformada de Laplace de la derivada se utilizan bastante en la resolución de las ecuaciones diferenciales.
i. Teorema.- Consideremos una función por tramos y de orden exponencial en [0,∞> entonces:

LF'(t)=sLFt-F(0+), donde F(0+)=limt→0+Ft |

ii. Teorema.- Consideremos una función continua F':[0,∞> →R y que F''(t) sea una función continua por...