transformada de laplace




Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert,y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. Latransformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general seaplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variableindependiente que aparece en la ED es una función seccionada.
Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodologíaconsiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una ciertaexpresión como transformada.
Propiedades:

1. Linealidad:


2. Primer Teorema de Traslación


3. Teorema de la transformada de la derivada


4.Teorema de la transformada de la integral5.Teorema de la integral de la transformada

6. Teorema de la derivada de la transformada

7.Transformada de la función escalón

8.Segundo Teorema de Traslacion


9.Transformada de unafunción periódica




Ejemplo 1
Evalúe .

Solución: De acuerdo con la definición,


Se sobre entiende que en el límite superior queremos decir que cuando para .
Ejemplo 2
Evalúe .Solución: De acuerdo con la definición,. Al integrar por partes con llegamos a;





Ejemplo 3
Evalúe .

Solución: De acuerdo con la definición,





El resultado depende del hecho de ,...