Transformada de laplace

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Unidad 3 Transformadas de Laplace
3.1 Definicion Trasformada De Laplace
3.2 Condiciones Suficientes Existencia Trasformada De Laplace
3.3 Trasformada De Laplace Funciones Basicas
3.4 Trasformada De Laplace Funciones Definidas Por Tramos
3.5 Funcion Escalon Unitario
3.5.1 Trasformada De Laplace Funcion Escalon Unitario
3.6 Propiedades Trasformada De Laplace (linealidad, teoremas detraslación)
3.7 Transformada De Funciones Multiplicadas por t n , y divididas entre t
3.8 Trasformada De Derivadas Teorema
3.9 Trasformada De Integrales Teorema
3.10 Teorema De La Convolucion
3.11 Trasformada De Laplace Funcion Periodica
3.12 Funcion Delta Dirac
3.13 Trasformada De Laplace Funcion Delta Dirac
3.14 Trasformada Inversa
3.15 Algunas Trasformadas Inversas
3.16Propiedades Trasformada Inversa (linealidad, traslación)
3.16.1 Determinacion Trasformada Inversa Mediante Fracciones Parciales
3.16.2 Determinacion Trasformada Inversa Usando Teoremas Heaviside

Transformada de Laplace
La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0, es la función F(s),definida por:

Siempre y cuando la integral esté definida.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento def(t).
Existencia de la Transformada
Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace para de una función cualquiera:
1. Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo
2. Ser de orden exponencial

Transformada de Laplace de funciones básicas.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existela transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

Propiedades

Potencia n-ésima

Nota: en la demostración aparece la función Gamma, tener presente esto
Seno

Coseno

Seno hiperbólico

Cosenohiperbólico

Logaritmo natural

Raíz n-ésima

Función de Bessel de primera clase

Función modificada de Bessel de primera clase

Función de error

Derivación

NT: en la demostración recordar que e − st debe crecer más rápidamente que la función, y así calcular su límite lim(f(t) / e − st,t = 0..infinto) (el cual seria cero, sino no habría como calcular) es por esto que funciones del tipo(que crece más rápido que e − st) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que , no es una función de orden exponencial.
Integración

F(w)=(cosw)
Desplazamiento de la frecuencia

Desplazamiento temporal en t

Nota: u(t) es la función escalón unitario
Desplazamiento potencia n-ésima

Convolución

Transformada de Laplace de una función con periodo p

Otras transformadas comunesTransformada de Laplace | Función en el tiempo |
1 | δ(t) |
| u(t) (función escalón unitario) |
| |
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Tabla de las transformadas de Laplace selectas
La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable.
Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal:
La transformada de Laplace es la de la sumade la transformada de Laplace de cada término.

La transformada de Laplace es únicamente válida cuando t es mayor a 0 − , lo que explica por qué en la tabla de abajo todo es multiplo de u(t). Aquí está una lista de las transformadas más comunes:
ID | Función | Dominio en el tiempo
| Dominio en la frecuencia
| Región de la convergencia
para sistemas causales |
1 | retraso ideal | |...
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