transformada z

Capu00edtulo 1: La Transformada Z

Capítulo 1.
LA TRANSFORMADA Z.

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Sistemas de Control en Tiempo Discreto

1.1 INTRODUCCIÓN.
La transformada Zeta es una herramienta útil en teoría de control en tiempo
discreto y su papel es análogo al que juega la transformada de Laplace en tiempo
continuo.
Una señal en tiempo continuo es aquella que se define sobre un intervalo
continuo detiempo. Una señal analógica es una señal definida en un intervalo continuo
de tiempo, cuya amplitud puede adoptar un intervalo continuo de valores. En cambio,
una señal en tiempo discreto es una señal definida sólo en valores discretos de tiempo.
En una señal en tiempo discreto, si la amplitud puede adoptar valores en un intervalo
continuo, entonces la señal se denomina señal de datosmuestreados. Una señal de
datos muestreados se puede generar muestreando una señal analógica en valores
discretos de tiempo. Para más información, [REF. 5], [REF. 6].
Se denominan variables de entrada, a todas las que es posible manipular a la
entrada del sistema, y que influyen sobre su comportamiento. Las variables de salida
son las respuestas medibles del sistema. Las variables de estado de unsistema son el
conjunto más pequeño de variables que sirven para describir en su totalidad el
comportamiento de un sistema. Una perturbación o ruido es una señal que afecta
adversamente al valor de salida de un sistema. Si una perturbación se genera dentro del
sistema, se la denomina interna, dando lugar a las variables internas del sistema. Si la
perturbación se genera fuera del sistema seconsidera externa, y constituye una entrada.
Los sistemas de control en tiempo discreto son aquellos sistemas en los cuales
una o más de las variables pueden cambiar sólo en valores discretos de tiempo. Estos
instantes, los que se denotarán mediante k T (k = 0, 1, 2, ..., T = periodo de muestreo),
pueden especificar los tiempos en los que se lleva a cabo alguna medición de tipo físico,
o lostiempos en los que se extraen los datos de la memoria de una computadora digital.
El intervalo de tiempo entre dos instantes discretos consecutivos se supone lo

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Capítulo 1: La Transformada Z

suficientemente corto, como para aproximar el dato de dichos instantes discretos
consecutivos con una interpolación sencilla.
Se dice que un sistema es causal si su salida en cualquier instante detiempo
depende sólo de los valores de la entrada en el tiempo presente y en el pasado. A estos
sistemas también se les llama sistemas no anticipativos, ya que la salida del sistema no
anticipa valores futuros de la entrada. Un sistema es estrictamente causal si la salida
sólo depende de los valores de la entrada en los instantes de tiempo pasado.

A modo de ejemplo, el sistema definido por laecuación

x(t) = 2u(t) + u(t-1)

es causal. Y el sistema definido por la ecuación

x(t) = u(t-1)

es estrictamente causal. Sin embargo, el sistema definido por la ecuación

x( t ) = u ( t ) - u ( t + 1 )

no es causal.

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Sistemas de Control en Tiempo Discreto

Se dice que un sistema es subamortiguado cuando su salida en el dominio del
tiempo se estabiliza alcanzando elvalor uno, tras una serie de oscilaciones. Si alcanza
dicho valor sin oscilaciones, el sistema tiene amortiguamiento crítico. Se dice que un
sistema es sobreamortiguado cuando su salida acaba alcanzando el valor uno sin
oscilaciones. Para comprender mejor estos conceptos, dibujamos dichas funciones en el
dominio del tiempo.

Si la función que define cada elemento de la secuencia de salida eslineal, el
sistema se denomina así mismo lineal. Si los coeficientes que definen el sistema son
constantes, el sistema lineal es invariante en el tiempo. Dichos sistemas se pueden
representar mediante ecuaciones en diferencias lineales con coeficientes constantes.
[REF. 6].
En un sistema de control en tiempo discreto, una ecuación en diferencias lineal
con coeficientes constantes caracteriza...