triangulo de pascal

En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique.1 Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios,chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.2
La construcción del triángulo está relacionada con los coeficientes binomiales según la fórmula (también llamada Regla de Pascal). Si  entonces  para todo entero positivo n y todo entero positivo kentre 0 y n.3
El triángulo de Pascal se puede generalizara dimensiones mayores. La versión de tres dimensiones se llama pirámide de Pascal otetraedro de Pascal, mientras que las versiones más generales son llamadas simplex de Pascal.
La primera representación explícita de un triángulo de coeficientes binomiales data del siglo X, en los comentarios de los Chandas Shastra, un libro antiguo indio de prosodia del sánscrito escrito por Pingala alrededor del año 200 a.C.4Las propiedades del triángulo fueron discutidas por los matemáticos persas Al-Karaji (953–1029)5 y Omar Khayyám (1048–1131); de aquí que en Irán sea conocido como el triángulo Khayyam-Pascal o simplemente el triángulo Khayyam. Se conocían también muchos teoremas relacionados, incluyendo el teorema del binomio.
En China, este triángulo era conocido desde el siglo XI por el matemático chino JiaXian (1010–1070). En el siglo XIII, Yang Hui (1238–1298) presenta el triángulo aritmético, equivalente al triángulo de Pascal, de aquí que en China se le llame triángulo de Yang Hui.6 7 8 9
Petrus Apianus (1495–1552) publicó el triángulo en el frontispicio de su libro sobre cálculos comerciales Rechnung10 (1527). Este es el primer registro del triángulo en Europa. En Italia, se le conoce comoel triángulo de Tartaglia, en honor al algebrista italiano Niccolò Fontana Tartaglia (1500–77). También fue estudiado por Michael Stifel (1486 - 1567)11 y François Viète (1540-1603).
En el Traité du triangle arithmétique (Tratado del triángulo aritmético) publicado en 1654, Blaise Pascal reúne varios resultados ya conocidos sobre el triángulo, y los emplea para resolver problemas ligados a la teoría dela probabilidad; demuestra 19 de sus propiedades, deducidas en parte de la definición combinatoria de los coeficientes. Algunas de estas propiedades eran ya conocidas y admitidas, pero sin demostración. Para demostrarlas, Pascal pone en práctica una versión acabada de inducción matemática. Demuestra la relación entre el triángulo y la fórmula del binomio. Fue bautizado Triángulo dePascal por Pierre Raymond de Montmort (1708) quien lo llamó: Tabla del Sr. Pascal para las combinaciones, y por Abraham de Moivre (1730) quien lo llamó: "Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM" (del latín: "Triángulo aritmético de Pascal"), que se convirtió en el nombre occidental moderno.12
Construcción del triángulo de Pascal
El triángulo de Pascal se construye de la siguiente manera: se comienza en el número«1» centrado en la parte superior; después se escriben una serie de números en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados, del siguiente modo: se suman las parejas de cifras situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) se escribe debajo de dichas casillas; el proceso continúa escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2= 3), etc. De manera general, esto se cumple así debido a la regla de Pascal, que indica que  para todo entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n. En la ilustración, en la última fila, la cifra 4 cuyas casillas situadas sobre ella corresponden a las cifras 1 y 3, se cumple que , para la cifra 6 se cumple  y para la última cifra 4 ; de igual manera, se cumple propiedad para...