Trigonometria 1batx

Índex

1 Resum de Teoria 1.1 Raons trigonomètriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.2 Raons trigonomètriques d’un angle qualsevol . . . . . . . . . . . . . . . . Raons trigonomètriques de diversos angles . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 2 4 5 5 8 13

Teoremes d’aplicació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

2 Exercicis 2.1 2.2 2.3 Angles, raons trigonomètriques, equacions i identitats . . . . . . . . . . . . . . . . Exercicis d’aplicació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un exercici resolt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Primer de Batxillerat. Curs 2010-2011

CAPÍTOL

1

Resum de Teoria

1.1

Raonstrigonomètriques

1.1.1

Raons trigonomètriques d’un angle qualsevol

Sigui O l’origen del pla. Recordeu que tot angle α queda determinat per dues semirectes. La part positiva de l’eix d’abscisses i una altra semirecta L d’origen O . Si dibuixem una circumferència C centrada a l’origen i de radi R = 1, la semirecta L i la circumferència C es tallen en un punt P = (x, y). Les raons trigonomètriques del’angle α es defineixen com:

• cos(α) = x • tg(α) =

• sec(α) =

1 ,x = 0 x

α

x = cos( α )

x y , x = 0 • cotg(α) = , y = 0 x y

Primer de Batxillerat. Curs 2010-2011

y = sin( α )

• sin(α) = y

• cosec(α) =

1 ,y = 0 y

P =( x,y )

2

Resum de Teoria

Observació: De les definicions que hem donat, com sigui que C té radi unitat, és dedueix que ∀ α es compleix que:−1 ≤ sin(α) ≤ 1, i que −1 ≤ cos(α) ≤ 1. És un bon exercici veure que podem representar gràficament les sis raons trigonomètriques d’un angle α de la següent manera:

cotg( α )

α R =1

sin( α )

tg( α )

(α sec

)

(α sec co

)

α

cos( α ) R =1

Teorema 1 (Teorema Fonamental) Sigui α un angle qualsevol. Aleshores es compleix que: i quan té sentit: (α = sin2 (α) + cos2 (α) = 1,tg(α) = sin(α) cos(α)

π + kπ, k ∈ Z), 2

1.1.2

Raons trigonomètriques de diversos angles

Teorema 2 (Fórmules d’adició) Siguin α, β dos angles qualsevol, aleshores: • sin(α ± β) = sin(α) cos(β) ± cos(α) sin(β) • cos(α ± β) = cos(α) cos(β) ∓ sin(α) sin(β) • tg(α ± β) = tg(α) ± tg(β) , quan tingui sentit. 1 ∓ tg(α) tg(β)

Si en aquestes expressions, fem β = α obtenim per l’angle 2α:Corol.lari 1 (Raons trigonomètriques de l’angle doble) • sin(2α) = 2 sin(α) cos(α) • cos(2α) = cos2 (α) − sin2 (α)
Primer de Batxillerat. Curs 2010-2011

1.1 Raons trigonomètriques

3

• tg(2α) =

2 tg(α) 1 − tg2 (α)

Si utilitzem que: sin2

α α + cos2 =1 2 2 α, podrem escriure: 2

i ens fixem en què l’angle α, és el doble de l’angle cos(α) = cos2 α α − sin2 2 2

i de les duesexpressions, podem deduir que:

Corol.lari 2 (Raons trigonomètriques de l’angle meitat)

sin

α =± 2

1 − cos(α) 2

cos

α =± 2

1 + cos(α) 2

tg

α =± 2

1 − cos(α) 1 + cos(α)

Per acabar aquesta secció, si escrivim A = α + β i B = α − β i aïllem α i β obtindrem que: A+B A−B α= i que β = 2 2 Si fem aquests canvis de notació en les expressions de les raons trigonomètriques delsangles α ± β, i sumen i resten de forma adequada, obtenim els següents resultats:

Corol.lari 3 (Transformacions de productes en sumes) Siguin A, B, dos angles qualsevol, es compleix que: A+B 2 A−B 2 A+B 2 A+B 2 A−B 2 A+B 2 A−B 2 A−B 2

• sin(A) + sin(B) = 2 sin

cos

• sin(A) − sin(B) = 2 sin

cos

• cos(A) + cos(B) = 2 cos

cos

• cos(A) − cos(B) = −2 sin

sin

Primer deBatxillerat. Curs 2010-2011

4

Resum de Teoria

1.2

Teoremes d’aplicació

En tota la secció quan ens referim a un triangle sempre entenem que si els seus vèrtex són A, B i C, els costats oposats a cada vèrtex són a, b i c, tal i com es descriu en la figura següent. Quan ens referim a p sempre voldrem dir el semi pería+b+c metre del triangle: p = 2 Teorema 3 (Sinus) En qualsevol triangle...