Trigonometria

1. Resuelva las siguientes ecuaciones trigonom´tricas:
e
√
a)
cos(x) = 3(1 − sen(x))
c)

√

√


a)
b)



2 cos(x) · cos(y ) = 1
 sen(x) · sen(y )

c)


 cos(x)

+sen(x)

+



cos(y )

=

cos(α)
d)

sen(y )

=

3

sen(α)

√
 2 sec(x) −


sen(x)

−

=
=

√
√

1√
6
4
1√
2
4

3 sec(y )

=0

2 sen(y )

=

0

3.Resolver la inecuaci´n:
o
2 sen x − 5 cos x > 0
4. Considerar la funciones siguientes. Hallar amplitud, frecuencia, per´
ıodo y ´ngulo de desfase.
a
a ) y = sen x + 2 cos x
√

π
2
1
c ) f(x) = 3 sen x cos2 x − sen3 x + cos 3x
2
3
d ) f (x) = 6 sen x − 8 sen x
b ) y = cos(π − 2x) −

3 cos 2x +

1

Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e
ıa
Departamento de Matem´tica
aEjemplos preguntas de Controles
1. Resolver la siguiente ecuaci´n sen(2x) −
o

√

3 sen(x) = 0.

Soluci´n:
o
sen(2x) −

√

3 sen(x)

=

0

3 sen(x)

=

0

=⇒ sen(x) = 0∨

2 cos(x) −

2 sen(x) cos(x) −

=⇒ { x = kπ / k ∈ Z } ∪

x=

√

π
+ 2kπ / k ∈ Z
6

10pt.

∪

√

3=0

x=−

10pt.

π
+ 2kπ / k ∈ Z
6

10pt.

π
π
2. Determine elper´
ıodo y Amplitud de la funci´n g (x) = sin( 1000 x) cos( 1000 x)
o

Soluci´n
o
Como sen(2α) = 2 sen α cos α, se tiene
g (x) =
de donde periodo = 1000

10 puntos

1
π
sen 2 ·
x
21000

y Amplitud =

1
2

10 puntos
10 puntos.

3. Determine el per´
ıodo y Amplitud de la funci´n f (x) = cos2 (3x) −
o

1
2

Soluci´n
o
Como cos2 (α) =

1 cos(2α)
−
2
2

10puntos, se tiene
f (x) =

de donde periodo =

π
3

15 puntos

1
cos(6x) 10 puntos
2

y Amplitud =

1
2

15 puntos .
√
4. Determine el per´
ıodo y Amplitud de la funci´n f (x) = 3sen(3x) − cos(3x)
o
Soluci´n
o
Como
f (x) =
√

√
( 3)2 + (−1)2 cos(3x + φ),

con tan φ = − 3, se tiene que per´
ıodo = 2π/3

10 puntos

10 puntos

y Amplitud = 2

10 puntos .

2...