Técnico

Sistemas de primer orden

Se denomina orden de un sistema al grado de su polinomio característico, esto es, al número de polos que tiene el sistema en su conjunto.
La función de transferencia de un sistema de primer orden es:


(1)


donde N(s) es el polinomio del numerador de coeficientes constante al ser de tipo LTI. Por el principio de causalidad,el grado de N(s) es uno o cero, bien es una constante o es un cero de primer orden. Considérese el caso más simple, el numerador corresponde a una ganancia. La relación entre la entrada y salida del sistema vendrá dada por una ecuación diferencia ordinaria de primer orden:



(2)


donde x(t) representa la señal en la entrada e y(t) es la salida. Aplicando a amboslados de la igualdad la transformada de Laplace y considerando condiciones iniciales nulas, se conseguirá la FDT de los sistemas de primer orden:


(3)


El valor de k será la ganancia estática del equipo y T será la constante de tiempo. En general, denominando ai y bi a los coeficientes de los polinomios del denominador y del numerador, respectivamente, de grado i, lasdos FDT de primer orden de los sistemas causales serán:



(4)



(5)


Sin embargo, para determinar la respuesta dinámica del sistema de primer orden se empleará el modelo de la ecuación (3). En el caso de que tuviera un cero de primer orden, desde luego, su dinámica cambiará. Pero desde el punta de vista metodológico, se planteará como la adición de un cero al sistema simpledefinido en la ec. (3). Estos aspectos serán tratados en el capítulo siguiente. Por tanto, se va a tratar de definir la respuesta dinámica de un sistema simple de primer orden y si poseyese un cero, su efecto se verá como una adición a la dinámica del sistema simple.








Respuesta temporal ante la entrada en escalón

Para analizar la dinámica delsistema de primer orden se requiere conocer qué tipo de entrada excitará al equipo. Como a priori no se conoce la naturaleza de esta señal, tal cual se comentó en el anterior capítulo, se emplearán las señales de pruebas. En el dominio temporal se definieron tres entradas normalizadas: escalón, rampa y parábola. Por dicha razón, la caracterización de los sistemasde primer y segundo orden en el dominio temporal se darán con estas excitaciones unitarias.

Suponiendo un sistema de primer orden simple caracterizado por su ganancia k y su constante de tiempo T, al ser estimulado por una señal de entrada en escalón unitario evolucionará a partir de la convolución entre la entrada y el sistema. Aplicando las transformadas de Laplace yhaciendo descomposición en fracciones simples, la respuesta transformada valdrá:


(6)




Empleando el cálculo de los residuos será fácil de determinar la anti transformada y por ende la evolución temporal de la señal de salida, en función de sus dos parámetros característicos, k y T:




(7)






Pero antes de representar la evolución temporal de unsistema de primer orden simple con una entrada en escalón, véase la correlación entre el dominio complejo y el temporal. Utilizando el teorema del valor final sobre la transformada de Laplace de la salida y haciendo el límite cuando el tiempo tiende a infinito en la ec.(7), los resultados son idénticos. La salida alcanzará, en el régimen permanente, el nivel de la gananciaestática del sistema, k:




Nótese que si el módulo de la ganancia, |k|, es mayor que uno el sistema amplifica, en caso contrario, atenúa, esto es, la amplitud de la salida es más pequeña que la entrada. Para resolver el valor inicial sólo basta con aplicar el teorema del valor inicial sobre la ec.(6) o hacer tender el tiempo a cero en la ec. (7):




La...