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Modalidad virtual Matemática

RESPUESTAS AL SEGUNDO PARCIAL
Primer Cuatrimestre 2009 – Tema 1

1. Indicá los intervalos de crecimiento y hallá máximos y mínimos, si existen, para la siguientefunción:

f (x) =

− 8 + x2 x2 + 1

Solución y comentarios

Observamos que el dominio de f son los números reales. Para poder contestar buscamos la derivada de la función f.
f ' (x) = 2x( x 2 +1) − ( −8 + x 2 )2x ⎛ x 2 + 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ⎛ x 2 + 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 18 x
2 2 2

2x 3 + 2x + 16 x − 2x 3

=

⎛ ⎞ ⎜ x 2 + 1⎟ ⎝ ⎠ Buscamos el punto crítico igualando a cero la derivada.
f ' ( x) = 0 ⇔18 x ⎛ x 2 + 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
2

=0

Y esto es cierto para x = 0. Luego el único punto crítico es x = 0 Como el denominador es siempre mayor que cero, analizamos solo el signo del numerador:
• •Para x < 0 es f ’(x) < 0 Para x > 0 es f ’(x) > 0

Luego en x = 0, la función pasa de negativa a positiva, entonces en x = 0 la función alcanza un mínimo. Y es
Min = (0; -8)

Además la función:
• •decrece en (-∞; 0) (ya que la derivada primera es negativa en ese intervalo) crece en (0; + ∞ ) (ya que la derivada es positiva en este intervalo)

2. ¿En que puntos la tangente a la gráfica def(x) = x3 + 5 tiene la misma pendiente que la recta 12x - y = 7?

Solución y comentarios

Escribimos la recta 12 x – y = 7 en la forma y = 12 x – 7 Por lo que su pendiente es m = 12. Entoncesbuscamos las abscisas del punto en que la derivada es igual a 12. Derivemos: f(x) = x3 + 5 ⇔ f ’ (x) = 3x2

Material de uso exclusivamente educativo

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Igualamos laderivada a 12: 3x2 = 12 Y buscamos los valores de x que verifican la igualdad: x2 = 4 Tomando raíz cuadrada en ambos miembros es: |x| = 2 x = 2 ó x = -2 Luego la recta tangente tiene pendiente 12 cuandoes x = 2 ó x = .2 Como nos piden los puntos en que esto pasa, reemplazamos en la función f(x) = x3 + 5 f(2) = 23 + 5 = 13. f(-2) = (-2)3 + 5 = -3 Luego los puntos son:
P1= (-2; -3) P2= (2; 13)

3....