Una funcion real

Una función racional S(x) definida en un intervalo cerrado [a , b] se puede expresar en la forma:


Siendo P(x) y Q(x) dos polinomios primos entre sí y de forma que Q(x) no se anula en el intervalo [a , b].
En el caso de que el grado del numerador sea mayor que el del denominador, la función puede expresarse como suma de un polinomio G(x) y de una función racional cuyo numerador sea de gradoinferior que el denominador, es decir:

Suponiendo que ya tenemos S(x) en esta última forma y que el polinomio Q(x) admite una descomposición del tipo:


Donde a1, a2, … son raíces reales de multiplicidad a,b,..., … respectivamente y b1 c1.i , b2 c2.i … son raíces imaginarias conjugadas de multiplicidad h, k, … respectivamente, entonces existe la descomposición en fracciones simples deltipo:


Se demuestra que esta descomposición existe y que es única.
La obtención de los coeficientes indeterminados puede hacerse de distintas formas. Así, por ejemplo, escrita a priori, la fórmula de descomposición, con coeficientes indeterminados en los numeradores del segundo miembro, se quitan denominadores multiplicando ambos miembros por Q(x). basta entonces igualar coeficientes de lasmismas potencias de x en la igualdad que resulta para formar un sistema lineal de ecuaciones de solución única de las incógnitas buscadas, Aj, Bj, Cj.
En algunos casos puede aplicarse un método sencillo que consiste en ir dando a x cada uno de los valores que son raíces del denominador. Vamos a desglosar el problema de la determinación de los coeficientes indeterminados en tres casos.
Caso deceros múltiples.
Si en el denominador hay un factor (x-a)h, esta raíz h-ple origina h fracciones simples:


Mutiplicando por (x-a)h y poniendo F(x) = P(x)/q(x), tenemos:


Los coeficientes se determinan entonces haciendo:



También se puede emplear el método de los coeficientes indeterminados, sobre todo cuando hay raíces imaginarias.
Ejemplo 3.- Considerar la integral de la función:Quitando denominadores resulta:



Identificando coeficientes y resolviendo se tiene: A = 1 ; B = 2 ; C = 1 y la función queda en la forma:



E integrando:



Una vez estudiados los distintos métodos existentes para obtener los coeficientes, vamos a analizar los tipos de funciones a integrar que aparecen. Los distintos tipos de funciones simples que tenemos son:



Elprimer caso corresponde a una raíz real simple del denominador. Su integral se obtiene inmediatamente y es de la forma A.Ln(x-a).
El segundo caso corresponde a una raíz real de multiplicidad, por lo menos, p del denominador. Su integral se obtiene haciendo:



El tercer caso corresponde a un par de raíces conjugadas en el denominador y su integración se realiza como se ha visto en elapartado “Caso de ceros simples imaginarios” :



El último caso corresponde a un par de raíces conjugadas, de multiplicidad por lo menos p, en el denominador. La integral de una expresión de ese tipo debe resolverse por un método de reducción:


La primera de las integrales se obtiene como sigue:


Para resolver la segunda de las integrales hacemos:


Haciendo ahora el cambio:Podemos poner:



Llamando Ip a la expresión comprendida bajo el signo integral podemos hacer:



La primera de las integrales queda Ip-1, la segunda pude integrarse por partes haciendo:



Y a partir de ahí:



Con lo que tenemos:


Y sustituyendo en la expresión de Ip


Agrupando términos y deshaciendo el cambio de variable realizado al principio, se tiene:


Laexpresión general para las integrales racionales con raíces conjugadas de multiplicidad por lo menos p en el denominador queda, por tanto, en la forma:



Donde Ip tiene el valor obtenido anteriormente, que operado sucesivamente queda en la forma:


Fernando de Rojas
Fernando de Rojas, (La Puebla de Montalbán, Toledo, 1470 - Talavera de la Reina, Toledo, 1541), dramaturgo español, autor...