Unidad 3 Ficha 1 Pertenencia y orden

INSTITUTO DE PROFESORES “ARTIGAS”

ESPECIALIDAD MATEMÁTICA
GEOMETRÍA
UNIDAD 3
FICHA 1: PERTENENCIA, ORDEN Y PARTICIÓN
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Conceptos primitivos.
Relaciones de pertenencia.
Orden en las rectas.
Partición del plano.
Partición del espacio.
Ángulos.
Ángulos diedros.
Triángulos.
Ángulos triedros.
Polígonos convexos.
Ángulos poliedros convexos.Superficies poliédricas y poliedros convexos.

Profesor Sergio Peralta
2008

Instituto de Profesores “Artigas”

Geometría – Unidad 3

1 - CONCEPTOS PRIMITIVOS.
Consideramos que el conjunto universal de la Geometría Métrica es un conjunto llamado
ESPACIO (E) cuyos elementos se denominan PUNTOS, que escribiremos con letras mayúsculas de
nuestro alfabeto (A, B, C, … P, ...)
En E, encontramos subconjuntosllamados PLANOS que designaremos con letras del alfabeto
griego (α, β, γ, δ, ϕ, π, ... ω, ...), y en cada plano subconjuntos llamados RECTAS que se nombrarán
con letras minúsculas de nuestro alfabeto (a, b, c, ... r, ...).
Los conceptos primitivos de la Geometría Métrica son: ESPACIO, PUNTO, PLANO y
RECTA.

2 – RELACIONES DE PERTENENCIA.
2.1 – AXIOMAS DE PERTENENCIA.
AXIOMA 1
Existe un conjuntoinfinito ( E ) llamado espacio, cuyos elementos se llaman puntos.
AXIOMA 2
En E existen subconjuntos estrictos, llamados planos, cada uno de los cuales tiene infinitos puntos.
AXIOMA 3
En cada plano existen subconjuntos estrictos, llamados rectas, cada uno de los cuales tiene infinitos
puntos.
AXIOMA 4 – DETERMINACIÓN DE UNA RECTA.
Dados dos puntos distintos, existe y es única la recta a la cualpertenecen.
AXIOMA 5 – DETERMINACIÓN DE UN PLANO.
Dados tres puntos no alineados, existe y es único el plano al cual pertenecen.
AXIOMA 6
Si dos puntos distintos de una recta pertenecen a un plano, la recta está contenida en él.
DEFINICIONES.
Familia de rectas, es el conjunto de todas las rectas del espacio, R.
Familia de rectas de π, es el conjunto de todas las rectas contenidas en el plano π, Rπ.Rectas coplanares: Dos rectas contenidas en un plano, se llaman coplanares.

2.2 – SEGUNDA DETERMINACIÓN DEL PLANO
Una recta y un punto que no pertenece a ella, determinan un plano que los contiene.
(H)
(T)

P∉r
∃α / P ∈ α
α es único

∧

r ⊂ α.

Por el axioma 3, en ( r ) existen infinitos puntos, consideremos
dos: A y B.
P ∉ r y A, B ∈ r entonces A, B y P no están alineados, por el axioma 5determinan un plano α tal
que A, B, P ∈ α.
A, B ∈ r
⇒
r⊂ α
(Por el axioma 6)
A, B ∈ α
Prof. Sergio Peralta - 2008

Ficha 1: Pertenencia, orden y partición.

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Geometría – Unidad 3

Hemos probado que existe un plano α tal que P ∈ α y r ⊂ α, para demostrar que es único,
razonemos por el método de reducción al absurdo suponiendo que además de α en esas condiciones,existe β ≠ α tal que P ∈ β y r ⊂ β
r ⊂ β y A, B ∈ r ⇒ A, B ∈ β
por lo que
A, B, P ∈ β (1)
además
A, B, P ∈ α (2)
Dado que β ≠ α (1) y (2) contradicen el axioma 5. Llegamos a una contradicción por suponer que α
no es único por lo que el teorema queda demostrado.

2.3 – TERCERA DETERMINACIÓN DEL PLANO
Dos rectas distintas que tienen un punto común, determinan un plano que los contiene.
(H)
(T)

r∩s={O}∃α / r ⊂ α ∧ s ⊂ α
α es único

Demostrar este teorema utilizando un procedimiento similar al de la justificación del item 2.2.

2.4 – POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
TEOREMA
Existen en E rectas no coplanares.
xQ

xP

r
α

Dado el plano α de la figura, sea r una recta
contenida en él, P un punto perteneciente a α
pero no perteneciente a r y Q un punto no
perteneciente a α.
Demostrar que lasrectas PQ y r son disjuntas
y no coplanares.

TEOREMA
Dadas dos rectas, contenidas en un plano π, se cumple una y sólo una de las siguientes posibilidades:
1) son la misma recta.
2) su intersección es un conjunto unitario.
3) son rectas disjuntas.
r, s ∈ Rπ

∃P/P∈r ∧ P∈s

∃Q/Q≠P ∧ Q∈r∧ Q∈s ⇒ r=s
∃ Q / Q ≠ P ∧ Q∈ r ∧ Q ∈ s ⇒ r ∩ s = {P}

∃P/P∈r ∧ P∈s ⇒

r∩s=φ

Prof. Sergio Peralta - 2008

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