Unidad 5 integrales multiples

Tema 5. INTEGRALES MULTIPLES

Introducción

De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f (x, y) de dos variables, definida en una región del plano x y, se puede interpretar como el volumen entrela superficie definida por la función y el plano x y en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función f (x, y, z) definida en una región del espacio x y z, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométricocorresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.
La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El Dominio de Integración se representa simbólicamente para cada diferencialsobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:

Definición

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación xn + 1 = f(x1,...,xn) y una región T en el espacio definido por los ejes de las variablesindependientes de la función f (si T es una región cerrada y acotada y f está definida en la región T). Por ejemplo, si n = 2, el volumen situado entre la superficie definida por x3 = f(x1,x2) y una región T en el plano x1x2 es igual a alguna integral doble, si es que la función f está definida en región T.

Se puede dividir la región T en una partición interior Δ formada por m subregionesrectangulares sin solapamiento que estén completamente contenida en T. La norma | | Δ | | de esta partición está dada por la diagonal más larga en las m subregiones.
Si se toma un punto (x1i,x2i,...,xni) que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones Δx1iΔx2i...Δxni para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacioentre el objeto definido por xn + 1 = f(x1,...,xn) y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:

Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación xn + 1 = f(x1,...,xn) y la región T mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los m espacios correspondientes a cada una de las subregiones:

Esta aproximación mejora amedida que el número m de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición:

El significado riguroso de éste último límite es que el límite es igual L si y sólo si para todo [pic]existe un δ > 0 tal que

Para toda partición Δ de la región T (que satisfaga | | Δ | | < δ), ypara todas las elecciones posibles de (x1i,x2i,...,xni) en la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de una integral múltiple:
Si f está definida en una región cerrada y acotada T del definido por los ejes de las

Variables independientes de f, la integral de f sobre T está dada por:
Siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice que f es integrable con respecto aT.
5.1 INTEGRALES ITERADAS

Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual se resuelve la integral...