Uso integrales

Integrales y ejemplos de aplicaci´n o
I. ´ PROPOSITO DE ESTOS APUNTES

Estas notas tienen como finalidad darle al lector una breve introducci´n a la noci´n o o de integral. De ninguna manera se pretende seguir un tratamiento riguroso, sino que se intenta presentar una noci´n intuitiva del concepto de integral y algunos ejemplos de sus o aplicaciones. Este material fue escrito con la intenci´nde cubrir la situaci´n inconveniente de o o que algunos alumnos que se encuentran cursando F´ ısica General I no realizaron previamente el curso de Matem´ticas I ´ C´lculo I, u otro curso en d´nde se estudien estos temas. a o a o Dado que en cierta medida esta situaci´n es ajena a la responsabilidad de los estudiantes, o entendimos pertinente realizar esta gu´ para permitirles manejar problemas enlos cu´les es ıa a necesario calcular integrales. La resoluci´n de tales tipos de ejercicios es totalmente necesario o en el curso de F´ ısica General I. Se espera que los estudiantes tomen lo antes posible el curso correspondiente de Matem´ticas, a efectos de tener la formaci´n adecuada al momento de a o cursar materias m´s avanzadas de la carrera. a

II.

LA VELOCIDAD COMO UNA DERIVADADado que los conceptos que manejaremos aqu´ ser´n posteriormente utilizados en la ı a resoluci´n de problemas de F´ o ısica, resulta natural comenzar con ejemplos tomados de la misma. Consideremos una part´ ıcula que se mueve en una cierta direcci´n fija, es decir o se mueve a lo largo de una l´ ınea recta. Supongamos que medimos la posici´n de la misma o usando una coordenada x, tal como se muestraen la figura 1. La posici´n x, ser´ una funci´n o a o del tiempo t. Esto quiere decir que para cada valor de t, x tendr´ un valor determinado. a Podemos expresar esto denotando x = x(t), y representarlo como una curva, como se muestra en la figura 2. A medida que transcurre el tiempo, la posici´n de la part´ o ıcula ir´ cambiando, y a el desplazamiento ∆x de la misma entre los instantes t1 y t2 est´dado por ∆x = x(t2 )−x(t1 ) a . Se define a la velocidad media vm en el intervalo (t1 , t2 ) mediante la relaci´n o vm = x(t2 ) − x(t1 ) t2 − t1

Supongamos que ahora, manteniendo fijo el valor de t1 , consideramos un valor de t2 m´s a cercano a t1 . El valor de vm en el nuevo intervalo ser´ en general diferente al obtenido en a 1

x
0

Figura 1

x

t Figura 2

el intervalo anterior.Supongamos que consideramos ahora otros valores de t2 , cada vez m´s a cercanos a t1 . Los valores de t1 se ir´n acercando un cierto valor v. Diremos que ese es el a valor de la velocidad instant´nea en el instante t1 (para ciertas funciones x(t) el valor de a v podr´ ser ∞, pero en estos casos la funci´n x(t) no es f´ ıa o ısica, dado que part´ ıculas reales no tienen velocidad infinita). Dado quela velocidad instant´nea depende del valor de t1 a elegido, esta es una funci´n del tiempo, y podemos expresarla en la forma v = v(t). La o definici´n de la velocidad instant´nea se puede escribir usando el concepto de l´ o a ımite, en la forma v(t1 ) = lim
t2 →t1

x(t2 ) − x(t1 ) t2 − t1

(1)
x(t2 )−x(t1 ) t2 −t1

Esto quiere decir que v(t1 ) es el valor al cu´l se acerca el cociente q(t)= a medida que t2 se acerca t1 . (De manera m´s formal, en general, definimos que a L = lim q(t)
t→t1

a

si para cualquier n´mero arbitrario > 0, existe un n´mero δ > 0, tal que para todo t entre u u t1 − δ y t1 + δ, se verifica que | q(t) − L |< ). En los casos en que est´ definido el valor de q(t) en t = t1 , el l´ a ımite L es el valor q(t1 ). 2 t − t1 Ejemplo: obtener el l´ ımite lim 2 .Sustituyamos el valor t por t1 y veamos que t→t1 t − t 1 t2 −t sucede. En este caso obtenemos t1 −t1 = 1, por lo que entonces el l´ ımite es 1. 2 1
1

2

En otros casos, sin embargo, el valor de q(t) no est´ definido en t = t1 . Esto es lo que a sucede en el c´lculo de la velocidad instant´nea, como veremos posteriormente, lo cu´l no a a a quiere decir que no exista el l´ ımite. Definiendo ∆t...