Utilidad Esperada

Utilidad Esperada
En estas notas nos interesaremos en la representación de preferencias cuando el conjunto de las posibles elecciones es el conjunto de todas las loterías (o distribuciones de probabilidad) sobre un cierto espacio …nito X: La mayoría de las situaciones de interés en economía son de elecciones en condiciones de incertidumbre. Por eso es muy importante tener una teoría de ladecisión que sea útil para estas situaciones. Eso es lo que trataremos de desarrollar en estas notas. Sea X un conjunto …nito, x1 ; :::; xn interpretado como el conjunto de las posibles canastas de consumo. Sea P el conjunto de todas las distribuciones de probabilidad sobre X; interpretado como el conjunto de todas las loterías cuyos premios son canastas posibles de consumo. Formalmente, ( ) n X n P = p2 R : pi 2 [0; 1] para todo i; y pi = 1
i=1

Vemos que si p; q 2 P; entonces para cualquier 2 (0; 1) ; el punto p + (1 )r de Rn también pertenece a P; pues p + (1 )r = ( p1 + (1 )r1 ; :::; pn + (1 )rn ) es tal que cada una de sus componentes es positiva, y además suman 1: Por lo tanto, si tomamos dos distribuciones de probabilidad p y q; y las “mezclamos” como hicimos recién, obtenemos otradistribución de probabilidad. Decimos que una relación de preferencias satisface Independencia si para todo p; q; r 2 P y todo p%q si y sólo si 2 (0; 1) p + (1 qyp )r % q + (1 t )r: )q tg

Continuidad si para todos los p; q; t 2 P tales que p yf :t p + (1 ) qg son cerrados.

q; los conjuntos f : p + (1

Sobre Independencia se han dicho millones de cosas. A continuación presentamos algunas.Defensa A. Argumentaremos ahora que es un axioma intuitivo. Para ver porqué, pensemos en lo siguiente. Supongamos que una persona, Inés por ejemplo, pre…ere p a q; es decir p q: Ahora, a Inés se le pregunta cual de las siguientes dos loterías pre…ere, si p + (1 )r o q + (1 )r: La lotería p + (1 )r se puede interpretar como una lotería en dos etapas. En la primera etapa, se tira una “moneda” que tieneprobabilidad de caer en cara, y 1 de caer en número. Si cae en cara, Inés recibirá la lotería p; y si sale número recibirá r: Ahora, comparando p + (1 )r con q + (1 )r; Inés piensa: “Cuando tiren la moneda, si sale número, me da exactamente lo mismo p+(1 )r o q+(1 )r; porque en ambos casos recibiré r: Si sale cara, en un caso recibiré p y en el otro q; por lo que mi decisión entre p + (1 )r y q +(1 )r debería reducirse sólo a la comparación entre p y q: Como dije que prefería p a q; debo también preferir p + (1 )r a q + (1 )r:”

1

Defensa B. También se ha argumentado que el axioma se debe cumplir pues se puede diseñar un “truco” para que aquellos cuyas preferencias no satisfacen el axioma entreguen voluntariamente todo su dinero. Supongamos por ejemplo que hay tres loterías p; q y rtales que p q y p r. En el Ejercicio 1 se le pide que demuestre que el axioma de Independencia implica que para todo 2 (0; 1) ; p q + (1 ) r: Supongamos que un individuo tiene preferencias que violan el axioma de Independencia, de tal forma que q + (1 )r p; y que la persona posee la lotería p: Como q + (1 ) r es preferido a p; el individuo estará dispuesto a pagar una pequeña suma de dinero porobtener q + (1 ) r y entregar p: Una vez que haya pagado ese dinero, se ejecuta la primera parte de la lotería (la que da q con probabilidad ; y r con probabilidad 1 ): Ahora el individuo está en posesión de r o de q; y como p q y p r; estará dispuesto a pagar una pequeña suma de dinero por cambiar q o r por p: Una vez que haya hecho el cambio, estará igual que al principio, poseyendo p; pero dospequeñas sumas de dinero más pobre. Ejercicio 1 Demuestre que si p q y p r y axioma de Independencia, entonces p q + (1 2 [0; 1] y las preferencias son transitivas y cumplen el ) r:

Presentado así, con esas dos defensas, el axioma suena sumamente razonable. Uno empieza a sospechar que quizás no sea tan inocuo cuando se da cuenta que de todas las formas posibles que podrían tener las curvas de...