Valores y vectores caracteristicos

ÍNDICE

PAG.
Introducción
3
1. Valores y vectores característicos
4
1.1 Definición de valores y vectores característicos de una matriz cuadrada
4
1.2 Polinomio y ecuación característica
7
1.3 Determinación de los valores y vectores característicos de una matriz cuadrada
8
1.4 Diagonalización de matrices, potencias y raíces de matrices
10
1.5 Diagonalización dematrices simétricas, diagonalización ortogonal
14
1.6 Formas cuadráticas
15
1.7 Teorema de Cayley-Hamilton
16
1.8 Aplicaciones 18

Conclusión 19

Bibliografía 20

INTRODUCCIÓN

En este capitulo pretendemos estudiar los métodos numéricos mas importantes para calcular los valores y vectores propios de una matriz cualquiera. Es decir, dada una matriz A Ɛ L(Rn), queremos hallar lasλ Ɛ C para las cuales Ǝx ƐCn con x≠ =0 tales que Ax = λx, donde λ es un valor propio y x es el vector propio asociado a este valor propio.

Como los valores propios de una matriz son, también, las raíces de su polinomio característico p(λ) = det(A - λI), se podrá reducir el problema a calcular los ceros de este polinomio por alguno de los métodos ya vistos; pero, en general el calculo delpolinomio característico de una matriz es excesivamente costoso y, además, pequeños errores en los coeficientes pueden dar graves errores en sus raíces. Este tipos de resolución solamente se utilizara en matrices muy sencillas como, por ejemplo, las tridiagonales y simétricas. Para matrices cuales quiera tenemos, básicamente, dos tipos de métodos:

• Los métodos de tipo puramente iterativo, a travésde los cuales, utilizando de forma reiterada un mismo tipo de transformación a la matriz inicial, se obtiene una sucesión de la cual se calculan uno o más valores propios. El mas conocido es el método de la potencia, que, asociado con métodos de deacion, nos permite ir hallando los distintos valores propios de la matriz.
• Los métodos basados en la factorización de alguna manera particular de lamatriz A, para obtener iterativamente una sucesión de matrices con los mismos valores propios que converge a una matriz triangular superior. Como veremos, estos algoritmos no se aplican directamente sobre la matriz inicial, sino que previamente se transforma la matriz a una forma reducida: Hessenberg superior, o tridiagonal si la matriz inicial es simétrica.

El cálculo de valores y vectorespropios aparece, por ejemplo, en algunos problemas de mecánica, en las vibraciones de estructuras, en la optimización y estudio de la estabilidad de otros métodos numéricos iterativos, etc.

1. VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS

1.1 DEFINICIÓN DE VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS DE UNA MATRIZ CUADRADA

En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operadorlineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar λ recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio oeigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.
Las transformaciones lineales del espacio—como la rotación, la reflexión, el ensanchamiento, o cualquier combinación de las anteriores; en esta lista podrían incluirse otras transformaciones—pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores. Los vectores pueden visualizarse como flechas de una cierta longitudapuntando en una dirección y sentido determinados.
• Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar que no varía su dirección.
• El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.
• Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores...