Variable

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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA

UNEFA _ NUCLEO YARACUY

EXTENSION_ BRUZUAL

[pic]

El ceibal, 07 de mayo de 2011

Cambio de variables doble
A menudo, es útil para reducir la complejidad de la integral cambiar una variable por otra que resulte más cómoda, sin embargoesto exige el cambio de la región de integración, además de añadir un factor de corrección al diferencial conocido como determinante jacobiano (en valor absoluto o módulo). El cambio de una variable por otra es en un sentido geométrico, una transformación desde un espacio hasta otro, y es esta transformación la que exige estos ajustes.
Si se utiliza una transformación que siga la relación:
[pic]Entonces se puede utilizar el jacobiano de la transformación para simplificar la integral
[pic]
Integrando la función transformada en el dominio de integración correspondiente a las variables x, y multiplicando por el valor absoluto del determinante jacobiano y por la serie de diferenciales, se obtiene una integral múltiple que es igual a la integral original, si es que esta existe.[pic]
A continuación se dan algunos ejemplos de estas transformaciones.

Coordenadas Polares
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La transformación de coordenadas rectangulares a polares. Se puede notar que el área de la región polar es distinta que la de la región rectangular, lo que justifica la necesidad del jacobiano. También se puede demostrar que si se considera ρ = (ρ1 + ρ2) / 2 (el radio medio), el área de laregión polar es efectivamente ρΔρΔθ.
En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces susceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación:
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Por ejemplo:
Sila función es [pic]
Aplicando la transformación se obtiene la función fácilmente integrable con respecto a φ y a ρ.
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Se pueden obtener funciones incluso más simples:

Si la función es [pic]
Uno tiene:
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Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.

El determinante jacobiano de la transformación es:
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El cual seobtiene insertando las derivadas parciales de x = ρ cos (θ), y = ρ sin (θ) en la primera columna con respecto a ρ y en la segunda con respecto a θ.
Por lo tanto, una vez transformada la función, y multiplicada por su determinante jacobiano, ésta es igual a la integral original:
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Coordenadas Esféricas
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Cuando existe simetría esférica en un dominio en R3, es posible utilizaruna transformación hacia coordenadas esféricas para simplificar una integral triple. La función es transformada por la relación:
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El determinate jacobiano de la transformación es el siguiente:
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Tomando el valor absoluto del determinante se obtiene el factor que se debe añadir a la integral.
Por lo tanto los diferenciales dx dy dz se transforman en ρ2 sin (φ) dρ dθ dφ.Finalmente se obtiene la fórmula de integración:
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Coordenadas Cilíndricas
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El uso de coordenadas cilíndricas para transformar una integral triple, es conveniente especialmente cuando el dominio de integración presenta simetría alrededor del eje z. La función se transforma mediante la siguiente relación.
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El determinate jacobiano de la transformación es el siguiente:
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Porlo tanto, se puede derivar la siguiente fórmula de integración:
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Cambio de variables en integrales triples

Al igual que los cambios de variables en integrales dobles encontramos cambios de variables que nos son convenientes en integrales triples. El principio es el mismo ya que del plano xyz pasaremos al plano uvw. Para esto ahora el Jacobiano será la determinante de una...
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