Variables aleatorias discretas

Universidad Industrial de Santander. Escuela de Ingeniería Química. Análisis de Variables de Procesos. Periodo 2 del 2010 Profesor: Raúl Gabriel Ramos

1. DIISTRIIBUCIIÓN BIINOMIIAL STR BUC ÓN NOM AL
Supongamos que un experimento aleatorio tiene sólo dos resultados posibles mutuamente excluyentes y conjuntamente exhaustivos, “éxito” y “fracaso”, y que p es la probabilidad de obtener éxito encada repetición. Si se realizan n repeticiones independientes, la distribución del número de éxitos, X, resultante se denomina distribución binomial. Su función de probabilidad es: ! ; , 1 1 ! ! para x = 0, 1, 2, ..., n. Media de la distribución binomail: μx = E(X) =n·p Varianza de la distribución binomial: σx2 = E[(X - μx)2 = n·p·(1 - p)

Ejercicio 1 Tomado de internet 1
Imaginemos elexperimento siguiente: Tirar un dado 7 veces y contamos el número de cincos que se obtiene. El espacio muestral es el siguiente: = {1, 2, 3, 4, 5, 6} La probabilidad de que suceda cada resultado es 1/6. Sea el evento X, el número de 5 que se obtienen al tirar 7 veces un dado. Entonces, ¿Cuál sería la probabilidad de obtener 3 cincos? Este es un claro ejemplo de distribución binomial, por lo tanto, en R,tendremos que declarar el evento (3), el número de intentos (7) y la probabilidad de éxito (1/6): Solución en R
> dbinom(3, 7, 1/6) [1] 0.07814286

Por lo tanto, la probabilidad de obtener tres cincos en siete lanzamientos de un dado es: 0.07814286. Y ahora, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 cincos o menos en 7 lanzamientos? procedemos igual que el apartado anterior, pero esta vez,especificamos todos los casos posibles: 2 1 0:
> dbinom(c(2, 1, 0), 7, 1/6) [1] 0.2344286 0.3907143 0.2790816

Observamos que de esta forma, sólo nos devuelve las probabilidades de los eventos: 2 1 0 respectivamente, así que si queremos la probabilidad total, empleamos la función suma:
> sum(dbinom(c(2, 1, 0), 7, 1/6)) [1] 0.9042245

1http://unbarquero.blogspot.com/2009/05/r-funciones-estadisticas.html

Guía 2. Variables aleatorias discretas con R

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Universidad Industrial de Santander. Escuela de Ingeniería Química. Análisis de Variables de Procesos. Periodo 2 del 2010 Profesor: Raúl Gabriel Ramos Y observamos directamente nos devuelve el resultado previamente sumado, por lo tanto, la probabilidad de obtener dos cincos o menos en siete intentos al lanzar un dado es de:0.9042245. Pero existe otra manera de obtener dicho resultado, para ello dispone de la función: pbinom(), que nos devuelve la función de distribución acumulada de la binomial:
> pbinom(c(2), size=7, prob=1/6) [1] 0.9042245

Donde podemos comprobar, que el resultado es el mismo. Ahora bien, si se quiere ver qué conjunto formado por los valores más pequeños posibles de la variable X, que tengan unaprobabilidad de ocurrir, por ejemplo, en torno al 90%, procedemos tal y como sigue:
> qbinom(0.90, size=7, prob=1/6) [1] 2

Esto indica para obtener una probabilidad del 90% se requieren 2 cincos en los próximos 7 lanzamientos, para corroborarlo:
> pbinom(c(2), size=7, prob=1/6) [1] 0.9042245

Podemos comprobar, que para obtener dos cincos en siete tiradas de un dado, la probabilidad es de0.9042245, prácticamente, el 90%. Esta función se usa para obtener el número de eventos dada una probabilidad. Y por último, ¿cuál es la probabilidad de obtener más de dos cincos en siete tiradas? En este caso, debemos especificar que la probabilidad es del tipo P[X > x]:
> pbinom(c(2), size=7, prob=1/6, lower.tail=F) [1] 0.09577546

Ejercicio 3-54. Montgomery
La variable aleatoria X tiene unadistribución binomial con n = 10 y p=0.5. Dibuje la función de probabilidad de X. a. ¿Cuál es el valor más probable de X? b. ¿Qué valor o valores de X son menos probables y cuales más probables? c. Indique la secuencia de comandos de R utilizados para realizar esta figura. Solución en R
> x=0:10 #Rango de la variable aleatoria > p=dbinom(x,10,0.5) #Probabilidades > plot(x,p,main="Distribución...