Variables aleatorias

VARIABLES ALEATORIAS
Notas
Indice
1. DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA 2. DEFINICIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES 3. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 4. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 5. VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES 6. TRANSFORMACIÓN DE VARIABLES 7. BIBLIOGRAFÍA 1 1 2 4 9 11 12

1. Definición de variable aleatoria
Se dice que una función X : Ω → es una variable aleatoriasi la "suerte" de realización de sus posibles valores puede establecerse con ayuda de los resultados de la experiencia aleatoria en estudio, cuyo espacio muestral es Ω . Se trata, en definitiva, de una función que asigna un valor numérico a cada uno de los resultados de una experiencia aleatoria.

2. Definición de variables aleatorias independientes
Dadas X e Y , variables aleatorias confunciones de densidad de probabilidad f X y fY , respectivamente, se dice que son independientes si:

f ( x, y ) = f ( x ) f ( y )
cualesquiera que sean x e y . donde f designa a la función de densidad conjunta de la variable bivariante

( X ,Y )

Otra forma de exponer este concepto, pasa por considerar los sucesos A y B de la experiencia aleatoria, determinados por dos conjuntos de valoresnuméricos de X e Y , respectivamente. La independencia de X e Y se traduce en la independencia entre A y B , es decir, la probabilidad de que tengan lugar los sucesos A y B simultáneamente debe coincidir con el producto de la probabilidad de realización de A por la de B :

Pr ( A ∩ B ) = Pr ( A ) × Pr ( B )
Esta definición puede extenderse a k variables aleatorias Y1 , Y2 , está asegurada si

, Yk ,donde la independencia entre ellas
f k ( yk ) , Yk ) ;

f ( y1 , y2 ,
cualesquiera que sean y1 , y2 , donde f

, yk ) = f1 ( y1 ) f 2 ( y2 )

, yk .

designa la función de densidad conjunta de (Y1 , Y2 ,

1

fi

designa la función de densidad de Yi .

Se pueden distinguir distintos tipos de variables aleatorias según dos criterios de clasificación: (a) Variables cuantitativasque son las que resultan de experimentos cuyos resultados son directamente numéricos; (b) Variables cualitativas que son las que proceden de experimentos cuyos resultados expresan una cualidad no numérica que necesita ser cuantificada. Otra clasificación más operativa de las variables aleatorias sería: (a) Variable discreta: aquella que se define sobre un espacio muestral numerable, finito oinfinito. Espacio numerable es aquel cuyos elementos se pueden ordenar, asignándoles a cada uno un número de la serie de los números naturales (del 1 al n ó del 1 al I ). Todas las variables con un número finito de valores y todas las que tomen valores en números enteros o racionales (fraccionarios), son variables discretas; (b) Variable continua: es aquella que se define sobre un espacio asimilable alconjunto de los números reales, es decir, un espacio no numerable (o un espacio infinito de tipo C o infinito dos). En general, la regla de oro es que todas las variables que proceden de experimentos en los que se cuenta son discretas y todas las variables que proceden de experimentos en los que se mide son continuas. Se dice que hemos definido una variable aleatoria para un experimento aleatoriocuando hemos asociado un valor numérico a cada resultado del experimento. Sea E el espacio muestral asociado a un experimento. Se llama variable aleatoria a toda aplicación del espacio muestral E en el conjunto de los números reales (es decir, asocia a cada elemento de E un número real). Se utilizan letras mayúsculas X , Y , para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas, x, y,para designar valores concretos de las mismas. Si un experimento con espacio muestral E , tiene asociada la variable aleatoria X , es natural que se planteen preguntas como: ¿cuál es la probabilidad de que X tome un determinado valor? Esto nos lleva a establecer, por convenio, la siguiente notación:

X = x representa el suceso "la variable aleatoria X toma el valor x ", y Pr ( X = x )...