Variables Complejas Con Aplicaciones (Seccion 2.1)

TEMA 2
Sección 1: FUNCIONES DE
VARIABLE COMPLEJA

FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE COMPLEJA

Definición. Dadas las variables complejas z = x + jy y w = u + jv, se dice que la función f: D(¢ ( ¢ / w = f(z) es una función compleja de variable compleja (FCVC), si u y v son funciones de x y y, es decir:

w = f(z) = u(x,y) + jv(x,y)

Nótese que u y v son funcionesreales.

Una situación especial se presenta en el plano z si tratamos de representar gráficamente a la función f(z), ya que se deben utilizar diferentes planos complejos para representar a z (variable independiente) y a w (variable dependiente), véase la figura 65. Esto es similar a la representación gráfica de funciones reales definidas de (2 ( (2.

Figura 65: Representación gráfica de lasfunciones complejas.

DOMINIO DE DEFINICIÓN

Definición. El dominio de definición de una función f(z), el cual se denota D, es el conjunto de todos los valores de la variable independiente z para los cuales la función esta definida.
Observación. Nótese que la palabra “dominio” fue utilizada en la sección 2 del tema anterior, para definir a un conjunto abierto y conexo. Por lo tanto, en elfuturo no se deben confundir los términos “dominio” y “dominio de definición”.
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FUNCIONES UNIVALUADAS Y MULTIVALUADAS

Definición. Dada la FCVC w = f(z), se dice que f(z) es una función univaluada, si a cada valor de z le corresponde un único valor de w. También se le llama función unívoca.

Definición. Dada la FCVC w = f(z), se dice que f(z) es una función multivaluada, si existen valores dez que tienen correspondencia con dos o mas valores de w. También se le llama función multívoca o multiforme.

Una función multivaluada puede ser considerada como una colección de funciones univaluadas, y a cada miembro de esta colección se le llama rama de la función. Además, se suele tomar a una de las ramas como rama principal, a la cual se le denomina valor principal de la función.Observación. Las funciones multivaluadas no cumplen en el sentido estricto, con el concepto riguroso de función. En el campo de los complejos, sólo las funciones univaluadas cumplen con la definición rigurosa de función.
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Un corte de ramificación es una porción de recta o de curva que se elige con el objeto de definir una rama de una función multivaluada. Además, todo punto que pertenezca a todoslos cortes de una función es llamado punto de ramificación.

TRANSFORMACIONES

Cuando definimos a la FCVC w = f(z), se dijo que debemos utilizar un plano complejo (plano z) para representar al conjunto de puntos z que corresponden al dominio de definición de la función, y otro plano complejo (plano w) para representar al conjunto de las imágenes o rango de la función. El proceso de transformara una región del plano z en una región del plano w, a través de la función w = f(z), se denomina transformación.

En la sección 2 de este capítulo, se hará un estudio mas profundo sobre las transformaciones en el campo de los números complejos. Allí se expondrán algunos métodos que permitirán obtener las transformaciones bajo ciertas funciones w = f(z).

FUNCIONES ELEMENTALES

1) FunciónPolinómica:

w = f(z) = anzn + an-1zn-1 + … + a1z + ao

donde z es una variable compleja, an, an-1 , … , a1, ao son números complejos con an ( 0. Además, n es un entero no negativo llamado grado del polinomio, es decir, n(N*.

Si se asignan valores a la variable compleja z, se pueden obtener valores numéricos del polinomio.

Observación. En la práctica, a las funciones Polinómicas f(z) seles suele denotar como P(z), esto es:

w = P(z) = anzn + an-1zn-1 + … + a1z + ao

Por ejemplo, las funciones P1(z) = (1+j)z – 2 – j, P2(z) = jz2 + jz + j, P3(z) = z3 + 1, son funciones Polinómicas de variable compleja.
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2) Función Racional: se definen como el cociente entre dos polinomios P(z) y Q(z).
w = f(z) = [pic]

donde Q(z) debe ser distinto de cero.

Observación. A partir...