Variables de angulo de accion

Tema III: Sistemas Hamiltonianos: Variables acci´n o ´ngulo a
1. Transformaciones can´nicas o
p = − ˙

Sea H(q, p, t) un hamiltoniano tal que ∂H ∂q ∂H q = ˙ ∂p Una transformaci´n en el espacio de fases o Q = Q(q, p) P = P (q, p) es can´nica, si existe un hamiltoniano H (Q, P, t) o H (Q, P, t) = H(q, p, t) + tal que Q y P son variables can´nicas o ∂H ˙ P = − ∂Q ∂H ˙ Q = ∂P La funci´n F es lafunci´n generatriz construida como o o dF1 (q, Q, t) dF2 (q, P, t) dF3 (p, Q, t) dF4 (p, P, t) = = = = pdq − P dQ pdq + QdP −qdp − P dQ −qdp + QdP ∂F ∂t (1.3)

(1.1)

(1.2)

(1.4)

(1.5) (1.6)

1

2

Cap´ ıtulo 3

1..1

Ejemplo: Oscilador arm´nico amortiguado o
m 2 k 2 q − q ˙ 2 2

Lagrangiano L = em La ecuaci´n del movimiento es: o
bt d bt (e m mq) + e m kq = 0 ˙ dt bt

osea m¨ + bq + kq = 0 q ˙ Hamiltoniano p=
−bt p bt ∂L = e m mq =⇒ q = e m ˙ ˙ ∂q ˙ m −bt m

2 bt kq p2 + em 2m 2 Este Hamiltoniano es dependiente del tiempo por lo que no es una constante del movimiento. Veamos si hay una transformaci´n can´nica que pase a un Hamiltoo o niano constante.

H=e

Transformaci´n can´nica o o Utilicemos la siguiente funci´n generatriz o ˆ F2 (q, p, t) = e 2m q p ˆEn tal caso
bt ∂F2 = e 2m p = p ˆ ∂q bt ∂F2 = e 2m q = q ˆ ∂p ˆ ∂F2 b bt = e 2m q p ˆ ∂t 2m bt

Las nuevas variables son por tanto: p = e 2m p ˆ q = e 2m q ˆ
bt −bt

´ 2.. ECUACION DE HAMILTON-JACOBI y el nuevo Hamiltoniano ˆ kq2 b p2 ˆ ˆ q ˆ H(ˆ; p) = + + qp ˆˆ 2m 2 2m Las ecuaciones de Hamilton son: p ˆ b + q ˆ m 2m b ˙ −p = k q + ˆ ˆ p ˆ 2m ˙ q = ˆ

3

ˆ Puesto que el nuevohamiltoniano H no depende expl´ ıcitamente de t, es constante del movimiento. Si lo expresamos en t´rminos de las variables iniciales e
2 2 bt p bt kq b ˆ H = e− m + em + pq 2m 2 2m

donde no es d´ ıficil comprobar que ˆ [H, H] + ˆ ∂H =0 ∂t

bt ˆ Dado que p = e m mq, la constante H puede escribirse como ˙

bt ˆ H = em

q2 ˙ k b m + q2 + qq ˙ 2 2 2

2.

Ecuaci´n de Hamilton-Jacobi o

Elprocedimiento standard de resoluci´n de un sistema hamiltoniano consiste en o obtener tantas constantes del movimiento como grados de libertad de manera que el problema sea soluble por cuadraturas. Por otra parte, hemos visto que toda coordenada c´ ıclica lleva asociada una integral primera (su momento conjugado), de forma que una transformaci´n can´nica o o que nos pasase a un conjunto de coordenadasc´ ıclicas nos asegurar´ la resoluci´n ıa o del problema.

2..1

Funci´n principal de Hamilton o

La funci´n generatriz que m´s dr´sticamente verifica la finalidad buscada ser´ o a a ıa aquella para la que el nuevo hamiltoniano fuese estrictamente cero. En concreto se

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Cap´ ıtulo 3

denomina funci´n principal de Hamilton a una funci´n generatriz de segunda o o especie S(q, P, t) talque: H = H+ ∂S(q, P, t) =0 ∂t

∂S ∂q ∂S Q = ∂P p =

(2.1)

Puesto que H = 0, todas las Q son c´ ıclicas y sus momentos conjugados constantes P =α (2.2) La ecuaci´n o H q, ∂S ∂S ,t + =0 ∂q ∂t (2.3)

se denomina Ecuaci´n de Hamilton-Jacobi y puede interpretarse como una o ecuaci´n en derivadas parciales para S. En esta ecuaci´n hay n + 1 variables: las n o o q y el tiempo. La soluci´ngeneral de S ha de depender de n+1 constantes. Una de o ellas ha de ser aditiva, ya que (2.3) solo depende de las derivadas de S y por tanto si S es una soluci´n S+cte tambi´n lo es. Puesto que la transformaci´n can´nica o e o o solo depende de las derivadas de S, la constante aditiva es irrelevante. Las otras n constantes las podemos identificar con los n momentos constantes P = α de manera que, laresoluci´n de la ecuaci´n de H-J ha de proporcionar o o S = S(q, α, t) Como H = 0, las ecuaciones de Hamilton son: P = α Q = β y la condici´n de transformaci´n can´nica implica o o o Q= ∂S(q, α, t) ∂S =⇒ β = ∂P ∂α (2.6) (2.4)

(2.5)

Esta ultima ecuaci´n (2.6) permite despejar las q en la forma ´ o q = q(α, β, t) (2.7)

con lo que el problema esta resuelto. Las n qi dependen de 2n constantes...