Variables de estado

 
Representación por variable de estado
 
Sistemas contínuos
Entre las formas de modelar un sistema matemáticamente se encuentra la de describir al sistema mediante la representación de variables de estado. Buscar un modelo matemático es encontrar una relación matemática entre las salidas y las entradas del sistema. En particular la representación interna (representación por variables deestado) relacionarán matemáticamente las salidas con las entradas a través de las variables de estado como paso intermedio.
La forma más general de representación por variable de estado de un sistema contínuo está dada por dos ecuaciones: la primera que define los cambios de las variables de estado en función de estas mismas variables, las entradas y el tiempo; y la segunda que define la salida enfunción de las variables de estado, las entradas y el tiempo. Así tenemos:
 
                   ecuación de estado              [Ec. 1.a]
                   ecuación de salida               [Ec. 1.b]
 
Aquí consideramos que x, y y u son vectores (columnas) de n, p y m componentes respectivamente. Esta forma de representación es válida para los sistemas contínuos no-lineales y variantes en eltiempo en forma general.
Si el sistema es invariante en el tiempo, las funciones f y g dejan de depender explícitamente del tiempo:
 
                        [Ec. 2.a]
                        [Ec. 2.b]
 
Si el sistema representado por las ecuaciones 1, es un sistema lineal, la dependencia de  e y, pasa a ser lineal:
 
                    [Ec. 3.a]
                   [Ec. 3.b]
 
donde A esuna matriz de nxn, B es una matriz de nxm (n filas x m columnas), C es una matriz de pxn, y D una matriz de pxm, que pueden ser dependientes del tiempo.
Si además de lineal, el sistema es invariante en el tiempo, las matrices A, B, C y D dejan de depender del tiempo:
 
                                [Ec. 4.a]
                              [Ec. 4.b]
 
En general la dimensión de losvectores u e y puede ser cualquiera. Si en particular ambos se reducen a un escalar (p = m = 1) el sistema se denomina SISO (single-input single-output). En el caso que ambas dimensiones fuesen mayores a la unidad, el sistema se denomina MIMO (multiple-input multiple-output).
Sistemas propios y estrictamente propios
Para un sistema SISO, que sea lineal, la relación entre la entrada y la salida puededescribirse mediante una ecuación diferencial ordinaria, de la siguiente forma:
 
         [Ec.5]
 
donde y(r) es la derivada temporal r-ésima de la salida y con respecto al tiempo, y u(q) es la derivada temporal q-ésima de la entrada u con respecto del tiempo.
En sistemas físicos reales se da siempre que r es mayor o igual que q. Si fuera lo contrario, nunca se podría definir y en funciónde u pues no sería causal. A los sistemas en que r es mayor o igual a q se los denomina propios. En el caso en que r es mayor que q (no cabe la posibilidad de que sean iguales) se los denomina estrictamente propios.
Se puede demostrar que en los casos que el sistema es estrictamente propio, no existe transmisión directa, y la matriz D se hace nula en esos casos (tanto en la ecuación 3.b como en laecuación 4.b).
 
Sistemas discretos
De igual manera, podemos describir en forma genérica a un sistema discreto por la siguiente representación por variable de estado:
 
                         ecuación de estado              [Ec. 6.a]
                               ecuación de salida               [Ec. 6.b]
 
donde k, k+1 representan los instantes consecutivos de las series de variables, x(k) esel vector de estados (discreto), u(k) es la serie del vector de entradas, e y(k) es el vector de salida todos en el instante k. Estos vectores nuevamente son de dimensión n, m y p respectivamente.
Esta forma de representación es válida para los sistemas discretos no-lineales e invariantes en el tiempo en forma general.
Si el sistema es invariante en el tiempo, las funciones f y g dejan de...