variación binomial

Muchas situaciones reales pueden ser analizadas por variables aleatorias discretas. En esta lectura se
estudian las distribuciones de probabilidad discretas, Bernoulli, Binomial, Poisson, Hipergeométrica
Distribución Bernoulli
Los nombres de las distribuciones de probabilidad llevan en su mayoría el nombre de quien las creó
y dio a conocer. La distribución de Bernoulli se distingue porque esutilizada en contextos para los
cuales tan sólo hay dos posibles resultados: ocurre o no ocurre, éxito o fracaso.
De este modo cuando nos encontremos en un contexto como el mencionado asignaremos a la
variable aleatoria los valores 1 y 0, con lo que indicaremos respectivamente ocurre, no ocurre o
éxito y fracaso.
Se denotará por q al valor de 1− p . No olvidemos que es importante conocer elvalor esperado de
una variable aleatoria porque éste nos dice según el contexto y las probabilidades dadas en él, lo que
se espera de variable aleatoria o el resultado que se espera obtener. Adicionalmente la varianza nos
permite calcular la desviación estándar que nos indica qué tan alejados están los datos del valor
Sea X una variable aleatoria que sólo toma los valores 1 y 0, denotamos por py 1− p a la
probabilidad de éxito y fracaso respectivamente. La función de probabilidad de esta
variable está dada de la siguiente manera
P(X = 0) =1− p P(X =1) = p
Por otra parte, el valor esperado o media y la varianza son
( ) ( ) 0 (1 ) 1( )
x
E X =ΣxP x = ⋅ − p + p = p
Var(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 = p − p2 = p(1− p)
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD
promedio de los mismos,entonces con ello sabremos si los datos se agrupan o alejan del valor
promedio, mostrando así la dispersión de los mencionados.
Ej emp l o 6 0
Un político cree que el 32% de los habitantes de cierta región apoyarán su campaña para el consejo.
Determine la media y la varianza de la variable aleatoria que toma el valor 1 si el político es
apoyado y 0 sino.
Como X = 0, 1 y p = 0.32 entonces 1− p =0.68, luego el valor esperado o media de la variable
aleatoria es
E(X ) = 0(0.68) +1(0.32) = 0.32
Lo que significa que se espera que un 32% de los habitantes apoyen la campaña del político.
Var(X) = p(1− p) = 0.32(0.68) = 0.2176
Dado que la raíz de la varianza mide qué tan dispersos están los datos de la media, si calculamos
dicho valor obtenemos
Var(X) = 0.2176 ≈ 0.4664
DistribuciónBinomial
Cuando un experimento aleatorio tiene dos posibles resultados, éxito o fracaso, y se repite un
número finito de veces nos encontramos en un experimento de tipo Binomial. Los criterios que nos
permitirán utilizar esta distribución son:
• Debe existir un número fijo de pruebas repetidas o ensayos independientes, a este
número lo denotamos con la letra n .
• Cada una n de las pruebas debetener dos resultados, éxito o fracaso (favorable o
desfavorable).
• La probabilidad de éxito de un acontecimiento es fijo y se denota con la letra p .
• La variable aleatoria X cuenta el número de éxitos obtenidos en los n ensayos
independientes.
Ej emp l o 6 1
De la producción de envases metálicos de una fábrica se sabe que el 3% son defectuosos. ¿Cuál es
la probabilidad de que en unamuestra de siete envases:
a. Por los menos tres sean defectuosos?
b. Como máximo tres sean buenos?
Comencemos por clasificar la información dada y distinguir si se cumplen o no los criterios de la
distribución binomial.
Un envase puede clasificarse en defectuoso o no defectuoso, luego ésta es la variable aleatoria para
la cual tenemos éxito o fracaso. Como ser defectuoso representará el éxitotendremos que
p = 0.03. Por otra parte, como se analizarán 7 envases es como si estuviésemos repitiendo el
mismo experimento 7 veces, luego n = 7 . De este modo observamos que todos los criterios son los
requeridos para utilizar una distribución binomial.
Respondamos ahora la pregunta de cada literal.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de siete envases por los menos tres sean...