Vctores

ESPACIOS VECTORIALES
Espacios Vectoriales
Definición 1.1.a. Un espacio Vectorial real V es una colección de objetos llamados vectores, junto con operaciones de adición y multiplicación por números reales que satisfacen los siguientes axiomas:
Axiomas de Adición
i) X + (Y + Z) = ( X + Y) + Z Propiedad Asociativa
ii) X + Y = Y + X Propiedad Conmutativa
iii) X + Ô = Ô + X Existenciadel elemento neutro. Vector cero
iv) X + ( -X ) = Ô Existencia del Opuesto
Axiomas de Multiplicación Escalar
v) α (X + Y) = α X + α Y P. distributiva del Producto c/r a la suma
vi) ( α + β ) X = α X +β X P. de la suma escalar c/r al producto
vii) ( αβ ) X= α (β X)
viii) 1X = X Existencia del elemento neutro del producto
[Kreider]

Definición 1.1.b Unespacio Vectorial V es un conjunto de elementos con la propiedad de que la adición esta definida en V: cada pareja de elementos U y W en V, tienen como suma el elemento U + W de V; los elementos de V se pueden multiplicar por escalares: si c es un escalar y si U está en V, entonces cU esta en V, V contiene un elemento único Ô

[Kaplan]

Ejemplos:
E.1. El espacio Vectorial de los Tres ejesCoordenados
E.2. El espacio de tres Vectores fijados a los ejes Coordenados
E.3. El espacio de Todas las Funciones Continuas en un intervalo [a,b]. C [a,b]
E.4. El espacio de las funciones k veces derivadas continuas Cn [a,b]
E.5. El espacio de todos los Polinomios de grado n
E.6. El espacio de todas as soluciones a una ecuación diferencial lineal homogénea de grado n.
An yn + A(n-1) y(n-1) +…..A1 Y1 = 0
E.7. El espacio de todas las soluciones a una ecuación integral
∫ K(x,t) Y(t)dt + λ y(x) = 0

Sub-Espacios Vectoriales

Definición 1.2.a Se dice que un sub conjunto W es un sub-Espacio Vectorial de V, si W es un Espacio Vectorial bajo las operaciones de adición y multiplicación escalar definidos en V.
[Kreider]

Definición 1.2.b. Si se tiene que un EspacioVectorial está contenido en otro y que la adición y multiplicación por escalares del primer espacio Vectorial se llevan a cabo de manera exactamente igual a la del segundo. Se dice que el primer espacio Vectorial es un sub-espacio del segundo.

[Kaplan]

Ejemplos:
E.2.1. El sub- conjunto Vo de V formado únicamente por el vector Ô.
E.2.2. El sub conjunto de vectores con una o doscomponentes en el espacio tridimensional. W1= (1,0,0); W2=(0,1,0); W3= ( 0,0,1); W4= (1,1,0); W5= (1,01); W6= (0,1,1)
E.2.3.Las funciones diferenciables continuas en [a,b]. C1[a,b]
E.2.4 El conjunto de todas las funciones k veces diferenciables continuas en [a,b].
Ck [a,b] es un sub espacio de Cn[a,b] cuando k ≤ n.
E.2.5 El conjunto de todos los polinomios de grado (k) es un sub-espacio delespacio de los polinomios de grado n. cuando k ≤ n

Combinación Lineal
Definición 1.3.a. Una expresión de la forma:
α1 X1 +  α2 X2 + … αn Xn
donde α1, α2,…αn son números reales, recibe el nombre de Combinación Lineal de los vectores X1, X2…. Xn.
S(x): es el conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores en X.
S(x) es un sub-conjunto no vacío de V.
[Kreider]
Definición1.3.b. Sea V un sub-espacio Vectorial. Se dice que un vector V es una combinación lineal de un conjunto finito de vectores U1, U2…Uk enV, si existen escalares a1, a2…ak (que pueden ser todos cero) tales que

V = a1 U1 + a2 U2 + ….+ ak Uk
[Kaplan]

Ejemplos

E.3.1. T = 2W1 + 4 W3 – 6 W5

E.3.2. S = W2 – 3 W4 + 5
. W1= (1,0,0); W2=(0,1,0); W3= ( 0,0,1);
W4= (1,1,0); W5=(1,01); W6= (0,1,1)

E.3.3. M = 3X4 – 6 X2 +9

E.3.4 N = 2 sen (x )– 4 cos (x)

E.3.5 J = 5 e(2x) – 4 e (3x) + 9e(x)

Dependencia e Independencia Lineal

Definición 1.4.a. Se dice que un vector X es linealmente dependiente de X1, X2, ..Xn si puede escribirse en al forma

X = α1 X1 +  α2 X2 + … αn Xn
Donde los αi son escalares. Si por otra parte no existe tal...