Vectores en el calculo vectorial

Definición de Vectores en R^2 y R^3
El concepto de vector es muy importante en matemáticas y física ya que sirve como base para generar modelos que se aplican en casi todas las ramas de ingeniería.
La definición general de Vector abarca aspectos muy amplios y se aborda en el curso de Matemáticas IV, por lo pronto aquí veremos una introducción con vectores en Segunda y Tercera Dimensión.Definición: Un vector en {$ R^2 $} es un par ordenado (x,y), y un vector en {$ R^3 $} es una terna (x,y,z).
Un vector v = (x,y) en {$ \cal \large R^2 $} lo podemos graficar en el plano cartesiano como un punto, pero también es muy común representarlo como una flecha trazada a partir del origen y terminado en el punto (x,y).
De igual manera un vector v = (x,y,z) en {$ \cal \large R^3 $} lo podemosgraficar en el espacio cartesiano como un punto o como usualmente se representa como una flecha trazada a partir del origen y terminado en el punto (x,y.z).
Generalización De manera natural un vector en {$ \cal \large R^n $} en el tuplo {$ (x_1, x_2,…,x_n) $} el cual no tiene representación geométrica para n > 3.
R2 se refiere al plano o tambien llamado bidimencional pork tiene 2 ejes el x,y,R3 se refiere al espacio o tridimencional por tener 3 ejes x,y y z(i,j,k)

Operaciones con Vectores y sus Propiedades
Operaciones Basicas con Vectores
Suma de vectores y multiplicación por un escalar:
Siendo X y Y dos vectores y H un escalar se dice que: X + Y = (x1 , y1) + (x2 , y2) = (x1 + x2 , y1 + y2) y lamultiplicación por un escalar se define H(x , y)=(Hx , Hy). Las propiedades que cumple la suma de vectores son la misma que cumplían las estructuras algebraicas de una operación que son: la de cierre, la conmutativa, la asociativa, elemento neutro e identidad y la distributiva.
Las leyes que cumple la multiplicación por un escalar son:
La de cierre bajo la multiplicación Hx, La distributiva (H+I)x =Hx + Ix ; H(x + y) = Hx + Hy, La asociativa (HI)x = H(Ix), y el elemento neutro de la multiplicación 1x = x. Operaciones Básicas con Vectores en Rn:
Las operaciones básicas con vectores en Rn son las mismas que las operaciones básicas que vimos anteriormente, o sea, la suma de vectores y la multiplicación por un escalar la diferencia seria que en estos serian n-esimos elementos y n-esimosvectores ejemplo: Para suma de vectores
X + Y = (x1, x2,…, xn) + (y1, y2,…, yn). Para multiplicación de un vector por un escalar
H(x1, x2,…, xn) = (Hx1, Hx2,…, Hxn).
Las propiedades que cumplen son las mismas que vimos en operaciones básicas con vectores en R2.
El vector cero “0” es el vector neutro o identidad de la suma de vectores en Rn: 0 = (0, 0, 0, …, 0n), este vector tiene como propiedadde que es único, es decir, U + 0 = 0, 0U = 0, a0 = 0, aU = 0 si a = 0 o U = 0, donde “U” es un vector y “a” un escalar.

Producto Escalar Y Vectorial
DEFINICION
En matemáticas el producto escalar (también conocido como producto interno o producto punto) es una función definida sobre un espacio vectorial cuyo resultado es una magnitud escalar. El nombre espacio escalar se utiliza paradenominar un espacio vectorial real sobre el que se ha definido una operación de producto interior que tiene como resultado un número real.
GENERAL
El producto interior o producto
Escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma sesquilineal, hermética y definida positiva, i.e., una operación : V \times V \longrightarrow K donde V es el espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el queestá definido, que tiene que cumplir:
1. < ax + by,z > = a < x,z > + b < y,z > (lineal en la primera componente),
2. = \overlineā + \overline{b} (semilineal en la segunda componente),
3. = \overline{} (hermítica),
4. \geq 0, y < x,x > = 0 si y sólo si x = 0 (definida positiva),
Donde x,y,z son vectores arbitrarios, a,b representan escalares cualesquiera y \overline{c} es el...