Vectores

VECTOR
Es un elemento de una estructura algebraica llamada espacio vectorial, que esencialmente es un conjunto de elementos con un conjunto de axiomas que debe satisfacer cada uno de ellos. El espacio vectorial más pequeño es el {0} y no hay ninguno que los contenga a todos, ya que cualquier espacio vectorial puede constar de infinitos elementos; por ejemplo, el conjunto de los números reales.Matemáticamente un vector puede ser también un conjunto de elementos ordenados entre sí pero a diferencia de un conjunto normal como el de los números naturales, éste está ordenado.
Así, se llama vector de dimensión n a una tupla de n números reales (que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión n se representa como (formado mediante el productocartesiano).


Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como vector geométrico (usando frecuentemente el espacio tridimensional ó bidimensional ).
CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR
Las características de un vector son: Módulo, Dirección y Sentido.
o El módulo del vector es su longitud. Lo representaremos por /
o La dirección de es la de la recta que los contiene. Sidos vectores tienen la misma dirección, son paralelos.
o El sentido del vector es el que va del origen al extremo.

OPERACIONES CON VECTORES
(a partir de ahora, los vectores libres los nombraremos por letras minúsculas en negrita cursiva)
• Suma y resta de vectores:
Dados dos vectores u y v, se llama suma al vector que, gráficamente, se obtiene de la siguiente forma: Se toma unrepresentante de cada uno de forma que el extremo del primero coincida con el origen del segundo (esto siempre es posible, en virtud de la propiedad fundamental); se une el origen del primero con el extremo del segundo, resultando el vector suma u+v. también se pueden sumar siguiendo la ley del paralelogramo.


La Resta de dos vectores
Es la suma del primero con el opuesto del segundo, como quedailustrado en el dibujo anterior.
El vector opuesto de v es el que tiene su mismo módulo, misma dirección y sentido contrario.

PRODUCTO ESCALAR
Dados dos vectores , se llama producto escalar de los mismos al siguiente número real:

• Interpretación geométrica
El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
Por definición decoseno se tiene:

Eliminando el denominador y sustituyendo en la definición de producto escalar se tiene el resultado:

• Propiedades del producto escalar
(Trivial)

• Propiedad conmutativa. Es evidente, ya que el coseno de un ángulo es igual al de su opuesto.
• , siendo k un número real.

• Distributiva respecto de la suma de vectores:
o Expresión analítica del producto escalar
Seauna base ortogonal de y
dos vectores cualesquiera cuyas componentes respecto de la base son:
Aplicando las propiedades del producto escalar, y teniendo en cuenta que los vectores de la base son perpendiculares dos a dos, tendremos que:

Si consideramos las componentes del vector respecto de la base canónica, tendremos que:

Ej: Halla la proyección del vector
o Módulo de unvector. Ángulo de dos vectores
o Desigualdad triangular
(la demostración gráfica de esta propiedad es trivial).
o Desigualdad de Schwarz

o Ortogonalidad de vectores
Ej1: Encuentra un vector perpendicular a Ej2:
PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES
El producto vectorial de dos vectores es otro vector , que se define de la siguiente forma:
o Si son linealmente independientes, es unvector con las siguientes características:
Módulo:
Dirección: Perpendicular a ambos vectores
Sentido: El de avance de un sacacorchos que gira de
por el camino más corto.

o Si los vectores son linealmente dependientes o uno de los dos es nulo, el producto vectorial es el vector nulo.

o Interpretación geométrica del producto vectorial

La demostración de la propiedad es inmediata...