Vectores

Moisés Villena Muñoz

Vectores en

IR 2 , IR3 ,…, IR n

1
1.1 1.2 1.3 1.4 DEFINICIÓN ENFOQUE GEOMÉTRICO IGUALDAD OPERACIONES

Los pares ordenados, que ya se han tratado, son los que llamaremos vectores de

IR 2 . Pero el interés ahora es ser más generales.

1

Moisés Villena Muñoz

Vectores en

IR 2 , IR3 ,…, IR n

1.1 DEFINICIÓN Un vector de IR es un conjunto ordenado de nnúmeros reales, los cuales son llamados componentes. Lo denotaremos de la siguiente manera:
n
→

v = ( x1 , x2 ,

, xn )

Si el vector tiene dos componentes, un par ordenado vector de

( x, y ) , será un

IR 2 . IR 3 . IR 2

Si el vector tiene tres componentes, un terna ordenada un vector de

( x, y, z ) , será

Considerar a los vectores de
3

como pares ordenados o a losvectores de IR como ternas ordenadas, nos permite obtener sus propiedades algebraicas, pero existen otras que resultan cuando se define una representación del vector en el plano cartesiano o en el sistema tridimensional.

1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO
Un vector de IR se lo representa en el Plano Cartesiano como un segmento de recta dirigido. Suponga que se tienen los puntos P ( x1 , y1 ) y 1
2

P2 (x2 , y 2 ) . Si trazamos un segmento de recta dirigido desde P1 hacia P2

tenemos una representación del vector

v = P1 P2 = ( x2 − x1 , y 2 − y1 )
y

→

⎯ ⎯→

P2 ( x2 , y2 )

→

v = P P2 1

P ( x1 , y1 ) 1

x

2

Moisés Villena Muñoz

Vectores en

IR 2 , IR3 ,…, IR n

Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en el plano cartesiano. Unarepresentación equivalente útil es aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida. Surgen características importantes cuando obtenemos una representación geométrica de un vector. Características como la longitud del segmento de recta, la medida de la inclinación de este segmento y hacia donde apunta la flecha que se ubica este segmento.
y

→

→

v

v = ( x, y )θ
x

1.2.1 MAGNITUD O NORMA
2 Sea v = ( x, y ) un vector de IR . La
→

magnitud o norma de v denotada como
→

→

v , se define como:
→

v = x2 + y2

Note que la norma sería la longitud del segmento de recta que define el vector. Es decir, sería la distancia entre los puntos que lo definen.
→

Para

v = ( x2 − x1 , y2 − y1 ) sería v =

→

(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

3Moisés Villena Muñoz

Vectores en

IR 2 , IR3 ,…, IR n

1.2.2 DIRECCIÓN

La dirección de v = ( x, y ) está definida por la medida del ángulo de inclinación de la línea de acción del segmento de recta; es decir, por el ángulo θ . Observe que:

→

θ = arctan

y x

Si el ángulo θ es medido en sentido antihorario se dirá que tiene dirección positiva, caso contrario se lo consideranegativo.
→

Para

v = ( x2 − x1 , y2 − y1 ) sería θ = arctan

y2 − y1 x2 − x1

1.2.3 SENTIDO

El sentido de v = ( x, y ) lo define la flecha dibujada sobre el segmento de recta.

→

Para

v = P2 P1 = ( x1 − x2 , y1 − y2 ) tenemos:
y

→

⎯ ⎯→

P2 ( x2 , y2 )

→

v = P2 P 1

P ( x1 , y1 ) 1

x
4

Moisés Villena Muñoz

Vectores en

IR 2 , IR3 ,…, IR n

IR 3sería análoga a IR 2 . Suponga que se tienen los puntos P1 ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2 , y 2 , z 2 ). Si trazamos un segmento de recta dirigido desde P hacia P tenemos una 1 2
La representación Geométrica para un vector de
→

representación del vector

v = PP2 = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) 1
z

⎯⎯ →

P2 = ( x2 , y 2 , z 2 )
→

v

P1 = ( x1 , y1 , z1 )
y

x

Surepresentación con punto de partida el origen sería:
z

P ( x, y , z )
→

v

y

x

La magnitud o norma de v = ( x, y, z ) se define como:
→

→

v = x2 + y 2 + z 2

5

Moisés Villena Muñoz
→

Vectores en

IR 2 , IR3 ,…, IR n

Para

v = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z 2 − z1 ) sería:
v =
→

(x

2

− x1 ) + ( y 2 − y1 ) + ( z 2 − z1 )
2 2

2

La dirección de v = ( x, y, z )...