Vectores

Capítulo

2

Vectores

2.1.

Escalares y vectores

Una cantidad física que pueda ser completamente descrita por un número real, en términos de alguna unidad de medida de ella, se denomina una cantidad física escalar. Como veremos existen cantidades físicas que son descritas por más de un número, o por un número y otras propiedades. En particular los vectores se caracterizan por teneruna magnitud, expresable por un número real, una dirección y un sentido. Sin embargo hay algo más que explicaremos.

2.2.

Sistemas de referencia

Para especificar la posición de un punto en el espacio, se utilizan sistemas de referencia. Esta posición se define en forma relativa a algún determinado sistema de referencia.

2.2.1.

Sistema cartesiano

En un sistema de referencia cartesiano,existen tres ejes denominados ejes cartesianos X, Y, Z ortogonales que se intersectan en un punto O llamado origen del sistema cartesiano. La posición de un punto respecto a ese sistema de referencia se define por el conjunto de sus coordenadas cartesianas (x, y, z), esto es mediante tres números, ver figura (2.1)

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z P r z O x y x y

Vectores

Figura 2.1: coordenadas cartesianas Losrangos de variación de las coordenadas cartesianas son −∞ < x < ∞, − ∞ < y < ∞, − ∞ < z < ∞.

2.2.2.

Sistema esférico de coordenadas

En el sistema esférico de coordenadas, la posición de un punto está definida por sus tres coordenadas esféricas r, θ y φ, ver figura (2.2)

θ φ

P r

Figura 2.2: coordenadas esféricas

2.2 Sistemas de referencia

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P z φ ρ

Figura 2.3: coordenadascilíndricas donde r es la distancia al origen, θ es el ángulo que forma OP con el eje Z y φ es el ángulo que forma la proyección de la línea OP en el plano XY con el eje X. Los rangos de variación de las coordenadas esféricas son 0 6 r < ∞, 0 6 θ < π, 0 6 φ < 2π.

2.2.3.

Sistema cilíndrico de coordenadas

En el sistema cilíndrico de coordenadas, la posición de un punto está definida por sustres coordenadas cilíndricas ρ, z y φ, ver figura (2.3) donde ρ es la distancia de la proyección del punto en el plano OXY al origen, z es la altura sobre el plano OXY y φ es el ángulo que forma la proyección de la línea OP en el plano XY con el eje X. Los rangos de variación de las coordenadas cilíndricas son 0 6 ρ < ∞, 0 6 φ < 2π, − ∞ < z < ∞.

2.2.4.

Sistema polar de coordenadas

En elsistema polar de coordenadas, la posición de un punto sobre un plano está definida por sus dos coordenadas denominadas polares, r y θ, ver figura (2.4)

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P r O θ eje polar

Vectores

Figura 2.4: coordenadas polares donde r es la distancia del punto P al origen, θ es el ángulo que forma la línea OP con el eje X, llamado aquí eje polar. Los rangos de variación de las coordenadas polares son 06 r < ∞, 0 6 θ < 2π.

2.2.5.

Relaciones entre las coordenadas

Es tarea sencilla establecer las siguientes relaciones entre las diversas coordenadas para los sistemas recién descritos Cartesiano-esférico x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ. Cartesiano-cilíndrico x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, z = z. Polar-cartesiano x = r cos θ, y = r sin θ. (2.3) (2.2) (2.1)

Más detalles seproporcionan después de introducir el concepto de vector. Si está perdido respecto de la trigonometría, vea resumen al final.

2.3 Desplazamientos en el espacio

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2.3.

Desplazamientos en el espacio

El concepto que dio lugar a los vectores, es el de desplazamiento. Considere un sistema de referencia respecto al cual esté definida la posición de puntos. Definicion 2.3.1 Se dice que unpunto se mueve respecto a un sistema de referencia, si sus coordenadas varían con el tiempo. Definicion 2.3.2 Un desplazamiento se define como cualquier cambio de posición de un punto en el espacio Este concepto básico de desplazamiento es en principio más elemental que el concepto de movimiento de un punto, puesto que no tiene relación con tiempos. Si un punto pasa de una posición A a otra posición...