vectores

Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para Educacion
Universidad Rafael Urdaneta
Asignatura: Algebra











ESPACIOS VECTORIALES



Integrantes:
C.I 25039108 Yovanny urdaneta



Una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no que iguale al espacio entero.
Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tienesentido si el espacio no posee un producto interno. Un espacio de banach no tendrá una base ortonormal a no ser que sea un espacio de hilbert
Ejemplo:
El conjunto { e1= ( 1,0,0), e2= (0,1,0) , e3 = (0,0,1)} (la base canónica) forma una base ortonormal de R3
Demostración: mediante un calculo directo se verifica que
< e1 , e2 > = < e1 , e3 > = < e2 , , e3 > = 0 y que | | e1 | | = | | e2 | | =| | e3 | | = 1
Así , { e1 , e2 , e3 } es un conjunto ortonormal. Para un (x,y,z) cualquiera en R3 tenemos
(x,y,z) = xe1 + ye2 + ze3

Entonces , { e1 , e2 , e3 } reconstruye R3 y por lo tanto tiene que ser una base. También puede demostrarse que la base estándar rotada alrededor de un eje que pasa por el origen o reflejada en un plano que pasa por el origen forma también una baseortonormal de R3










1. Espacio vectorial :
Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío , una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar , definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático )


Ejemplo: suma + : V x V → V(u.v) → u+v


2. Propiedades básicas de un espacio vectorial :

Si x ε V y ε V , entonces X + y ε V ( es decir, V es cerrado para la suma)

Para todos x, y , z en V , ( x+y) + z = x + (y+z) (ley asociativa de la suma )

Existe un vector 0 ε V tal que para todo x ε V , x+0 = x (0 se conoce como neutro aditivo)

Si x ε V , existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0 (-x seconoce como el inverso aditivo de x )

Si x y y están en V , entonces x+y = y+x (ley conmutativa de la suma de vectores )

Si x ε a V , y α es un escala , entonces αx ε V ( se dice que V es cerrado para la multiplicación escalar)

Si x y y están en V y si α es un escalar, entonces α (x+y)= αx + αy (primera ley distributiva)

Si x ε V y si α y β son escalares , entonces (α+β) x= αx+βx (segunda ley distributiva )

Si x ε V y si α y β son escalares , entonces α(βx)= αβx (ley asociativa de la multiplicación por escalar)

Para todo vector x ε V, 1x=x (al escalar 1 se le conoce como neutro multiplicativo)




































Ejemplo de la propiedad conmutativa
u + v = v + u
u + v = v + u(ux , uy)+ (vx , vy) = v + u
(ux + vx , uy + vy ) = v + u
(vx + ux , vy + uy ) = v + u
(vx , vy) + (ux , uy) = v + u
v + u = v + u
Ejemplo de propiedad asociativa :
(u + v) + w = u + (v + w)
( (ux , uy ) + (vx , vy ) ) + ( wx , wy ) = ( ux , uy ) + ((vx + vy) + ( wx , wy ))
(ux + vx , uy + vy ) + ( wx ,wy ) = (ux , uy ) + (ux + vx , uy + vy )
(ux , vy + wx , uy + vy + wy ) = (ux + vx + wx , uy + vy + wy )


Ejemplo con elemento neutro:
u + 0 = u
(ux , uy) + (0,0) = (ux + 0, uy + 0 ) = (ux , uy)

3. Combinaciones lineales y vectores linealmente independientes

a. Combinaciones lineales:

Sea V un espacio vectorial. Se dice que v ε V es combinación lineal de los vectores
{v1;v2…..; vn} ½ V , si existen α1 ; α2; …..; αn ε K tales que


Ejemplo:
En R3 , para averiguar si el vector v=(1;2;3) es combinación lineal de v1 = ( 1; 1;1), v2 = (2; 4 ;0) y v3 = (0; 0; 1), se plantea la ecuación vectorial:
(1; 2; 3) = α(1; 1; 1) + β(2; 4; 0) + ¥ (0; 0; 1)

Que equivale al siguiente sistema de ecuaciones, cuyas soluciones son las que se indican:



Luego v= 0v1 +...