Vectores

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1,0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.
Definición
Sea un conjunto de vectores.Decimos que son linealmente dependientes si existen números , no todos iguales a cero, tal que:

Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo . Elconjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes.
Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir laindependencia lineal así:
Un conjunto de vectores de un espacio vectorial es linealmente independiente si
Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente indepedientes,generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio. Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos:
1. Un conjunto de vectores es linealmentedependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.
2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo es.Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás, escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los otros.
3. Si un conjunto devectores es linealmente dependiente, también lo es todo conjunto que lo contenga. Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si tiene algún vector que es combinación lineal delos demás, si metemos este conjunto de vectores en otro más grande, seguimos teniendo el vector que es combinación lineal de otros, por tanto, el conjunto más grande será linealmente dependiente....