Vectores

• Espacios Vectoriales:

En el estudio de las matemáticas o de la física, el término vector se aplica a una amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que representan magnitudes y dirección ya sea una fuerza, una velocidad o una distancia. El término vector también se usa para describir entidades como matrices, polinomios o funciones.

Un espacio vectorial es aquelconjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios dimensiónales Rn o R2. Un espacio vectorial es un espacio no vacío.

Un espacio vectorial es una terna (V,+, U), donde V es un conjunto no vacío y son dos operaciones del tipo +: V × V → R, ・: R × V → V a las que llamaremos suma devectores’ y ’producto por escalares respectivamente y con las siguientes propiedades: denotando + (u, v) = u + v y (λ, v) = λv.


• Propiedades.

1. U + (V + W) = (U+V) +W (asociativa).
2. U + V = V + U (conmutativa).
3. Existe un objeto 0 en V, denominado vector cero de V, tal que 0+u= u+0= u para todo u en v. (elemento neutro).
4. Para todo u en V existe un objeto –u enV, denominado negativo de u, tal que u+ (-u)= (-u)+u=0 (elemento opuesto).
5. (u+v)+w= u (v+w) (segunda-asociativa).
6. Si k es cualquier escalar y u es cualquier objeto en v, entonces ku esta en v. (DISTRIBUTIVA).
7. K (U+V)=KU+KV (UNIMODULAR).

8. (K+L)U= KU+UL.



De forma abreviada, diremos que V es un espacio vectorial. A los elementos de V lo llamamos vectores y alos de R, escalares.


• Sub-espacios vectoriales.

Se llama Sub-espacios vectorial de un espacio vectorial V a cualquier subconjunto no vacío S V que es espacio vectorial con las mismas operaciones definidas sobre V.

Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es un sub espacio de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma ymultiplicación por un escalar definidas en V. Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por un escalar.

Supongamos que U satisface las propiedades 1 y 2. Veamos que con estas son suficientes paraprobar todas las propiedades de espacio vectorial. Todas estas son ciertas de forma trivial, excepto dos: la existencia de elemento neutro y opuesto. Pero para ello basta con probar que el elemento neutro de V se encuentra en U y lo mismo sucede con el elemento opuesto de un vector de U.

En particular, todo subespacio vectorial debe contener el elemento neutro del espacio ambiente, así como loselementos opuestos de todos los vectores del subespacio.







• Combinación lineal.
Una combinación lineal se da cuando un vector o matriz es proporcional a otro de la misma dimensión por un número que multiplica todos los objetos del vector o matriz.

Sea V un espacio vectorial. Se dice que v € V es combinación lineal de los vectores ⌠v1; v2;… Vn⌡ V, si existen α1; α2;… αn €K tales que


V= ∑ = αivi


Propiedad.


V es combinación lineal de V1, V2, V3 si:
(Vx, Vy, Vz)= (α1.V1+α2.V2+αV3)
Vx, Vy, Vz= α1 (V1x, V1y, V1z)+α2 (V2x, V2y, V2z)+α3 (V3x, V3y, V3z) = (α1.V1x, α1.V1y, α1.V1z + α2. V2x, α2.V2y, α2. V2z + α3. V3x, α3. V3y, α3. V3z)
Donde:
Vx= α1.V1x + α2.V2x + α3. V3x
Vy= α1.V2y + α2.V2y + α3. V3yVz= α1.V1z + α2.V2z + α3. V3z

Una ecuación lineal de n incógnita, es combinación de otras, cuando puede expresarse como función de ellas, por ejemplo A = 2B+3C, donde A, B y C son ecuaciones lineales, implica que cada una de ellas es combinación lineal de las otras dos, pues cualquiera de las tres pueden expresarse en función de las otras dos. Como las líneas de las matrices se arman...