vectores

INSTITUTO TECNOLOGICO

TRABAJO
UNIDAD 4 – ESPACIOS VECTORIALES



TURNO: VESPERTINO



INDICE

4- ESPACIOS VECTORIALES

4.1- DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL.


4.2- DEFINICION DE SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES.


4.3- COMBINACION LINEAL. INDEPENDENCIA LINEAL.


4.4- BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL, CAMBIO DE BASE.


4.5- ESPACIO VECTORIAL CONPRODUCTO INTERNO Y SUS PROPIEDADES.


4.6- BASE ORTONORMAL, PROCESO DE ORTONORMALIZACION DE GRAM-SCHMIDT.
ESPACIOS VECTORIALES

4.1 DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL
Es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitosiniciales.
Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada multiplicación de un escalar por un vector. La suma de vectores o simplemente suma, es una regla o función que asocia a dos vectores, digamos u y v, un tercer vector, a este se le representara como u + v.
La multiplicación es una regla que asocia a un escalar y a un vector, digamoscy u, un segundo vector representado por c + u. entonces el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientes axiomas ( la operación + es la suma vectorial ; la operación ° es la multiplicación por un escalar).
1- Para cualquiera dos vectores u y v en V:


Este axiomas se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma: la suma de dos elementos del conjunto debedar como resultado también un elemento del conjunto.
2- Para cualquiera dos vectores u y v en V:

Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma: el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.
3- Para cualquiera tres vectores u, v y w en V:

Este axioma se conoce como el axioma de la asociatividad de la suma: en una suma de dos vectores, no importa elorden como asocien la sumas entre dos ; el resultado será siempre el mismo.
4- Existe un único vector en V que se simbolizara por 0 y que se llamara el vector cero tal que para cualquier vector u V se cumple :

Este axioma se conoce como el axioma de la existencia del elemento neutro: existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con cualquier elemento da el mismo segundo elemento.
5-Para cualquier vector u V existe un único vector también en V y simbolizado por –u que cumple:

Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversos aditivos: cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado con el da el neutro aditivo.
6- Para cualquier vector u V y para cualquier escalar c R se cumple:

Este axioma se conoce como elaxioma de cerradura bajo la multiplicación por escalares: el resultado del producto entre cualquier escalar por cualquier elemento del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.
De forma abreviada, diremos que V es un espacio vectorial. A los elementos de V lo llamamos vectores y a los de r, escalares.
En un espacio vectorial V,
1. El elemento neutro es único. Se denotara por0.
2. El elemento opuesto de un vector es único. Si v es un vector, su opuesto lo denotamos por v.




4.2 DEFINICION DE SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES.
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V. Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V
TEOREMA DE SUBESPACIO
Un subconjunto no vacío de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:
Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es...