Vectores

Desarrollo

Dependencia e Independencia Lineal.
Dependencia Lineal: Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal. Por Ejemplo:

Independencia Lineal: un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puedeser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

Significación Geométrica de Dependencia e Independencia Lineal
Geométricamente, dos vectores son independientes si no tienenla misma dirección. Esta definición supone que el vector nulo tiene todas las direcciones, en otras palabras este debe generar un área.
Tres vectores son independientes si y solo si no están contenidos en el mismo plano vectorial, o sea si ninguno de ellos es una combinación lineal de los otros dos (en cuyo caso estaría en el plano generado por estos vectores) en otras palabras este debe generarun volumen.
El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Es un espacio vectorial. El espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigida por este vector. El espacio generado por dos vectores independientes es el plano que los contiene. Resulta fácil comprobar que el espacio generado por un sistema devectores es el menor (por la inclusión) espacio vectorial que los contiene a todos. Se le denomina vect A, donde A es el sistema de vectores. Si vectores son independientes, el espacio generado es de dimensión n (dimensión en el sentido usual: 0 para un punto, 1 para una recta, 2 para un plano...).
Ejemplos: Sea V = Rn y consideremos los siguientes elementos en V:

Entonces e1, e2,..., en sonlinealmente independientes. Estos vectores constituyen la base canónica en R.
Modelos Alternativos usando Determinantes en vectores dependientes e Independientes Lineales.

Los determinantes aparecieron originalmente al tratar de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Su uso con vectores dependientes e independientes, se da una definición precisa de determinante y a relacionarlo, entre otras cosas,con la inversibilidad de matrices.
En el caso de matrices en K2£2
, sabemos que A =
µ A b
C d Es invertible si y solo si
Ad ¡bc = 0 (ver Ejercicio 11, Seccion 6 2.5). Este escalar ad ¡bc se llama el determinante de
La matriz A. Para n > 2, el determinante de una matriz es también un escalar que se calcula a partir de los coeficientes de la matriz.

Caracterización de Conjuntos LinealesIndependientes y Lineales Dependientes de Vectores.

Geométricamente, dos vectores son independientes si no tienen la misma
Dirección (con sentidos idénticos u opuestos). Esta definición supone que el vector
Nulo tiene todas las direcciones.

Tres vectores son independientes si y solo si no están contenidos en el mismo
Plano vectorial, o sea si ninguno de ellos es una combinaciónlineal de los otros
Dos, no se puede obtener a partir de los otros (en cuyo caso estaría en el plano.

Generado por estos vectores). El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas las Combinaciones lineales de estos vectores.
Si n vector son independientes, generan el espacio de dimensión n (dimensión
En el sentido usual: 0 para un punto, 1 para una recta, 2 para unplano...).

Ejemplo:
En el espacio tridimensional usual (denotamos a los vectores con negrita):
U y j son dependientes por tener la misma dirección (y sentidos opuestos).
U y v son independientes y definen el plano P.
U, v y w son dependientes por estar los tres contenidos en el mismo plano.
U v y k son independientes por serlo u y v entre sí y no ser k una combinación
Lineal de...