Vectores

OPERACIONES CON VECTORES

ADICIÓN

FORMA ANALÍTICA

Para realizar la adición de dos vectores en forma analítica, no necesariamente se deben graficar con precisión los vectores, pero si, necesariamente ambos vectores deben estar en forma cartesiana, así que dados dos vectores [pic]y [pic]se define el vector suma como el vector [pic], cuya norma y ángulo polar se hallan en la forma usualdescrita en capítulos anteriores. Puede realizarse la adición de más de dos vectores simultáneamente.

Ejemplo 1 : Hallar el vector resultante de la adición de los vectores [pic]y [pic], como ambos vectores están en la forma cartesiana entonces se tiene que [pic] entonces [pic], entonces [pic] y su ángulo polar es, por estar en el IV cuadrante, [pic], luego [pic].

Ejemplo 2: Hallarla suma de los vectores [pic]y [pic].

Evidentemente ambos vectores no se encuentran en la forma cartesiana, luego, es necesario llevarlos a dicha forma, notar antes que [pic]está en el II cuadrante y que [pic] está en el III cuadrante; entonces [pic] y entonces [pic]; y para [pic]el ángulo polar es [pic]= 2700-270 = 2430 y entonces de la misma forma que se hizo con [pic], tenemosque [pic], ahora ambos vectores se encuentran en la forma cartesiana y [pic]; con [pic] y ángulo polar , por estar en el III cuadrante , [pic] , así que [pic].

(Ver la gráfica donde se expresan ambos ejemplos dados arriba )

Ejemplo 1 Ejemplo 2

[pic] [pic]



ADICIÓNFORMA GRÁFICA o Método del paralelogramo

Para realizar la adición de dos vectores en forma gráfica, es necesario tener regla, transportador, compás; conocer la magnitud de cada vector y la dirección (ángulo polar o ángulo geográfico) que ellos forman con alguno de los ejes y graficar con precisión los vectores en un plano coordenado con la unidad bien definida; pues el vector suma resultantese determinará por medición directa, usando la regla, de su magnitud, y su dirección se obtendrá también por medición directa con el transportador, del ángulo con algún eje.

El procedimiento consiste en dibujar los vectores con origen en el origen, escoger uno de ellos y trazar a partir de su extremo un vector equipolente al segundo, y a partir del extremo de éste trazar un vector equipolente altercero… y así sucesivamente hasta llegar a trazar el último vector; el vector suma resultante será aquel que une el origen de coordenadas con el extremo del último vector, su magnitud se mide con la regla y su dirección se mide con el transportador. Es necesario usar una escala para expresar las medidas de las unidades en la realidad en las medidas de las unidades gráficas y viceversa. Estemétodo también es llamado método del paralelogramo.

Ejemplo 1

Un avión viaja con dirección 100 hacia el noroeste y una velocidad de 350 Km/h, a través de una tormenta con vientos de velocidad 75 Km/h hacia el sureste 800; hallar la velocidad resultante del avión y el rumbo que debe tener el avión para mantener su rumbo original.

Para usar el método gráfico debemos usar una escala pararealizar el dibujo en forma precisa; digamos por ejemplo que 1cm equivalen a 50Km/h, es decir nuestro factor de conversión a cm será [pic] ; luego 350 Km/h serán [pic]cm y 75 Km/h serán [pic]cm

Al realizar el gráfico con regla, compás y transportador, aplicando el método gráfico descrito, se graficael vector correspondiente a la velocidad del avión [pic] y a la velocidad del viento [pic], en la forma descrita, obteniéndose con la regla que la medida del vector resultante [pic]es aproximadamente 6.6cm lo que equivale a [pic]Km/h (para llevar el valor gráfico al valor real se debe multiplicar por el factor de conversión inverso[pic] ) y forma un ángulo...