Vectores

1.- Vectores

1.1 - Geometría en el Espacio Consideraremos el siguiente sistema de coordenadas rectangulares en IR3

Z

Y

X

Distancia entre dos puntos P1 = (x1 , y1 , z1) y d=

P2 = (x2 , y2 , z2)

(x

2

− x1 ) 2 + ( y 2 − y1

)

2

+ ( z 2 − z1 ) 2

Ecuación de una esfera con centro (xo , yo , zo) y radio r. (x – xo)2 + (y - yo)2 + (z – zo)2 = r2

Punto medio delsegmento que une los puntos P1 = (x1 , y1 , z1) y ⎛ x1 + x 2 y1 + y 2 z1 + z 2 ⎞ , , ⎜ ⎟ 2 2 ⎠ ⎝ 2

P2 = (x2 , y2 , z2)

Ejercicio Obtener la ecuación canónica de una esfera que tiene a los puntos (5, -2, 3) y (0, 4, -3) como extremos de un diámetro. Respuesta El centro es el punto medio del diámetro, luego

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⎛5 + 0 2 + 4 3−3⎞ ⎛ 5 ⎞ , , ⎜ ⎟ = ⎜ , 1, 0 ⎟ 2 2 ⎠ ⎝2 ⎝ 2 ⎠ El radio es la distancia del centro a un extremo del diámetro

r =

5⎞ ⎛ 2 2 ⎜ 0 − ⎟ + (4 − 1) + (−3 − 0) 2⎠ ⎝

2

=

25 +9+9 = 4
2

25 + 18 = 4

25 + 72 97 = 4 4

∴La ecuación de la esfera es:

97 5⎞ ⎛ 2 2 ⎜ x − ⎟ + ( y − 1) + ( z − 0) = 2⎠ 4 ⎝

1.2 - Vectores enIR3 Consideraremos el siguiente sistema de coordenadas rectangulares en IR3

Todo vector de IR3 se puede escribir como una terna ordenada o como un trinomio.

ˆ ˆ ˆ v = (v1, v2, v3) = v1 i + v2 ˆ + v3 k , donde i = (1, 0, 0), ˆ = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) j j ˆ 3 son los vectores base de IR . Q
Si v = PQ donde P = (p1, p2 , p3) y Q = (q1, q2, q3), entonces v = (q1 − p1 , q 2 − p 2 , q3 − p3 )Igualdad de vectores

P

Sean u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3). Entonces u = v ⇔ u1 = v1 y u2 = v2 y u3 = v3

Magnitud de v : Corresponde al tamaño del vector v y se denota por

|| v || =

2 2 v12 + v 2 + v3 . También se llama norma de v

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE C. NAT, MATEMÁTICAS Y DEL M. AMB. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS LIDIA ORTEGA SILVAPropiedades de la norma de un vector a) || u || ≥ 0, ∀ u b) ||α u || = |α| || u || c) || u + v || ≤ || u || + || v ||

El vector nulo o = (0,0,0) tiene magnitud 0.
Vector unitario: Es un vector con magnitud igual a 1. A partir de un vector v ≠ o se v v puede obtener un vector unitario u , donde u = , v ≠ o , pues =1 || v || || v || ˆ j ˆ Los vectores base i , ˆ, k son unitarios Suma de vectores:Dados los vectores u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) u + v = (u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) Producto de un vector u = (u1, u2, u3) por un escalar α

α u = (αu1, αu2, αu3)
Vectores paralelos u = (u1, u2, u3) // v = (v1, v2, v3)

⇔

∃ escalar α ∈ IR, tal que u = α v

Producto escalar o producto punto Sean: u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3). Entonces el productoescalar es u ⋅ v = u1v1 + u2 v2 + u3v3 Propiedades del producto escalar Si u y v son vectores de IR3 y α es un escalar, entonces se cumple que: a) u ⋅ v = v ⋅ u b) u ⋅ ( v + w ) = u ⋅ v + u ⋅ w c) α( u ⋅ v ) = (α u )⋅ v = u ⋅ (α v ) d) u ⋅ u = || u ||2 = u 2 e) || u || = u ⋅ u

Vectores ortogonales o perpendiculares
u ⊥ v ⇔ u ⋅ v =0

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Ángulo θ entre dos vectores u y v

cos(θ) =

u ⋅v , 0≤θ≤π || u |||| v ||

v
θ
u

Proyección de u sobre el vector v

u

Vector proyección

uv =

u ⋅v v || v || 2

θ
uv

v

Proyección escalar

uv =

u ⋅v || v ||

Vector componente de u ortogonal a v w = u - proyección u v

Cosenosdirectores Determinan la dirección de un vector u = (u1, u2, u3) respecto de los ejes coordenados en su parte positiva.
Z

γ
α

u
β
Y

X

α, β, δ se llaman ángulos directos de u y determinar la dirección del vector u cos α = u u1 u , cos β = 2 , cos δ = 3 , se llaman cosenos directores de u . u u u

Nota:

cos2 α + cos2 β + cos2 δ = 1.

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